Indique se as funções a seguir, possuem valor máximo ou valor mínimo. Se sim, indique qual é o valor e onde ocorre(m).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para
e pede que eu indique se essa função possui valor máximo e/ou valor mínimo. Se sim, devo dizer qual é o valor e onde ocorrem esses extremos.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio implícito é todo
. - O que se pede: existência de máximo e mínimo; se existirem, valor(es) e ponto(s) onde ocorrem.
Passo 2
Primeiro fato útil (propriedade básica da função cosseno): para todo
vale
Explicação intuitiva: na definição geométrica (círculo trigonométrico),
é a coordenada
de um ponto sobre o círculo unitário; essa coordenada nunca passa de
nem de
. Portanto a função é limitada superiormente por
e inferiormente por
.
Passo 3
Agora mostro que os valores extremos
e
realmente são atingidos por
. Cálculos simples:
Logo existem pontos
em que a função assume
e
. Como em qualquer
a função não pode valer acima de
nem abaixo de
, esses são candidatos obrigatórios a máximo e mínimo globais.
Passo 4
Para achar todos os pontos onde esses extremos ocorrem (útil na prova) eu procuro os pontos críticos usando derivadas — método padrão e rápido:
- Derivada de
:
- Pontos críticos ocorrem quando
, isto é quando
As soluções gerais de
são
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (segundo derivada):
- Segunda derivada:
- Avaliando em
:
Interpretação pelo teste da segunda derivada:
- Se
é par ( ) então , logo e o ponto é um máximo local. Nesse caso . - Se
é ímpar ( ) então , logo e o ponto é um mínimo local. Nesse caso .
Passo 6
Agora a conclusão sobre máximos e mínimos globais: já vimos que
é sempre
e
, e que existem pontos onde atinge exatamente
e
. Portanto esses extremos locais são também extremos globais. Além disso, pela periodicidade
, esses extremos se repetem infinitas vezes ao longo da reta real.
Passo 7
Escrevendo a resposta de forma clara e útil para a prova (formas paramétricas dos pontos onde ocorrem):
- Valores máximos:
ocorre em
- Valores mínimos:
ocorre em
Resposta
Máximo global:
, ocorre em
com
.
Mínimo global: , ocorre em
com
.
Mínimo global: