Indique se as funções a seguir, possuem valor máximo ou valor mínimo. Se sim, indique qual é o valor e onde ocorre(m).
f(x)=\cos (x)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\cos(x) para x\in\mathbb{R} e pede que eu indique se essa função possui valor máximo e/ou valor mínimo. Se sim, devo dizer qual é o valor e onde ocorrem esses extremos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos(x).
  • O domínio implícito é todo \mathbb{R}.
  • O que se pede: existência de máximo e mínimo; se existirem, valor(es) e ponto(s) onde ocorrem.

Passo 2

Primeiro fato útil (propriedade básica da função cosseno): para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \cos(x) \le 1.
Explicação intuitiva: na definição geométrica (círculo trigonométrico), \cos(x) é a coordenada x de um ponto sobre o círculo unitário; essa coordenada nunca passa de 1 nem de -1. Portanto a função é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1.

Passo 3

Agora mostro que os valores extremos -1 e 1 realmente são atingidos por \cos(x). Cálculos simples:
\cos(0)=1, \qquad \cos(\pi)=-1.
Logo existem pontos x em que a função assume 1 e -1. Como em qualquer x a função não pode valer acima de 1 nem abaixo de -1, esses são candidatos obrigatórios a máximo e mínimo globais.

Passo 4

Para achar todos os pontos onde esses extremos ocorrem (útil na prova) eu procuro os pontos críticos usando derivadas — método padrão e rápido:
  • Derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).
  • Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, isto é quando
-\sin(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)=0.
As soluções gerais de \sin(x)=0 são
x = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (segundo derivada):
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x.
  • Avaliando em x=k\pi:
f(k\pi)=\cos(k\pi)=(-1)^k, \qquad f''(k\pi)=-\cos(k\pi)=-(-1)^k = (-1)^{k+1}.
Interpretação pelo teste da segunda derivada:
  • Se k é par ( k=2n) então (-1)^{k+1}=(-1)^{2n+1}=-1<0, logo f''(k\pi)<0 e o ponto é um máximo local. Nesse caso f(k\pi)=(-1)^{2n}=1.
  • Se k é ímpar ( k=2n+1) então (-1)^{k+1}=(-1)^{2n+2}=1>0, logo f''(k\pi)>0 e o ponto é um mínimo local. Nesse caso f(k\pi)=(-1)^{2n+1}=-1.

Passo 6

Agora a conclusão sobre máximos e mínimos globais: já vimos que \cos(x) é sempre \le 1 e \ge -1, e que existem pontos onde atinge exatamente 1 e -1. Portanto esses extremos locais são também extremos globais. Além disso, pela periodicidade \cos(x+2\pi)=\cos(x), esses extremos se repetem infinitas vezes ao longo da reta real.

Passo 7

Escrevendo a resposta de forma clara e útil para a prova (formas paramétricas dos pontos onde ocorrem):
  • Valores máximos: f(x)=1 ocorre em
x = 2n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Valores mínimos: f(x)=-1 ocorre em
x = (2n+1)\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

Máximo global: 1, ocorre em x=2n\pi com n\in\mathbb{Z}.
Mínimo global: -1, ocorre em x=(2n+1)\pi com n\in\mathbb{Z}.