Indique a ordem de cada uma das equações diferenciais e determine quais são lineares: 2 x y'' + x^2 y' - sen(x) y = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer saber qual é a sua ordem e se ela é linear. A matéria aqui envolve equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função desconhecida e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de uma equação diferencial e o que define uma equação diferencial linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Olhando para a sua equação:
Aqui, temos , que é a segunda derivada de em relação a , , a primeira derivada, e sozinho. A maior derivada é a segunda, então a ordem da equação é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si ou passadas por funções não lineares.
A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Comparando com a sua equação:
Vemos que , e estão todos na primeira potência e não estão multiplicados entre si ou dentro de funções complicadas. Portanto, a equação satisfaz a definição de linearidade.

Resposta

A equação diferencial apresentada é de segunda ordem e linear.

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