Indique V para verdadeiro e F para Falso.
a) Se houver perda de energia por qualquer modo durante a vibração, o sistema pode ser considerado amortecido?
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma séria de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.

Passo 1

O enunciado pede que eu indique, para cada uma das três frases, se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). As frases são:
a) Se houver perda de energia por qualquer modo durante a vibração, o sistema pode ser considerado amortecido?
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma série de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
Não há outros dados numéricos; é uma pergunta conceitual. Vou analisar e justificar cada uma com definição, exemplos e (quando útil) um pequeno cálculo.

Passo 2

Entendendo o que significa “amortecido” e o efeito da perda de energia.
  • Intuição: um sistema vibrante é chamado amortecido quando existe um mecanismo que dissipa energia (por exemplo, atrito viscoso, resistência elétrica, histerese), fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo, se não houver entrada de energia externa.
  • Exemplo matemático simples (massa-mola com amortecimento viscoso): considere a equação
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,
onde m>0 é a massa, c\ge 0 é o coeficiente de amortecimento (viscoso) e k>0 é a constante elástica. A energia total (mecânica) do sistema é
E(t)=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^2+\tfrac{1}{2}k x^2.
Calculando a derivada temporal:
\frac{dE}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+k x\dot{x}=\dot{x}\bigl(m\ddot{x}+k x\bigr).
Usando a equação do movimento m\ddot{x}=-c\dot{x}-kx obtemos
\frac{dE}{dt}=\dot{x}(-c\dot{x}-kx+ kx)=-c\dot{x}^2\le 0.
Portanto, quando c>0 a energia decresce (dissipa) e a amplitude tende a diminuir — isso é amortecimento.
  • Observação prática e nuance: se houver perda de energia, existe um mecanismo dissipativo — isso caracteriza amortecimento. Contudo, se houver também uma fonte externa que repõe exatamente essa energia (por exemplo, excitação forçada contínua), o sistema pode não apresentar decaimento da amplitude mesmo com dissipação presente; mas a existência de perda de energia por si só é a definição de que há amortecimento no sistema.
Conclusão sobre (a): a presença de perda de energia indica existência de amortecimento — a frase é verdadeira.

Passo 3

O que significa “expandir em série de Fourier” e quais são as hipóteses necessárias.
  • Ideia básica: uma série de Fourier representa uma função periódica f(t) como soma (possivelmente infinita) de senos e cossenos (ou exponenciais complexas):
f(t)\sim a_0+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).
Os coeficientes a_n,b_n são obtidos por integrais envolvendo f (por exemplo, a_n=\tfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt, quando o período é 2\pi). Logo, é preciso que essas integrais façam sentido para definir os coeficientes.
  • Condições clássicas (Condiciones de Dirichlet): se f é periódica, absolutamente integrável em um período, com número finito de descontinuidades e número finito de máximos e mínimos em cada período (isto é, peça‑wise contínua e com variações limitadas), então a série de Fourier existe e converge ponto a ponto para \tfrac{f(t^+)+f(t^-)}{2}. Essas hipóteses cobrem a grande maioria das funções que aparecem em problemas práticos.
  • Resultado mais geral (teoria L^2): se f é quadrado-integrável numa período (ou seja, f\in L^2), então a série de Fourier está definida em sentido das somas de Fourier em norma L^2 (convergência em média quadrática), mas isso não garante convergência pontual nem que a representação por senos e cossenos faça sentido clássico em todos os pontos.
  • Contraexemplo simples para a afirmação “qualquer função periódica”: existe pelo menos uma classe de funções periódicas para as quais não se pode formar a série de Fourier no sentido clássico porque os integrais que definem os coeficientes não existem. Por exemplo, considere a função definida em (-\pi,\pi) por
f(t)=\frac{1}{|t|}
e estenda-a periodicamente de período 2\pi. Perto de t=0 a função tem singularidade não integrável: a integral \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{1}{|t|}\,dt diverge quando \varepsilon\to 0. Portanto, os coeficientes de Fourier (que exigem integrais \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt, etc.) não estão bem definidos no sentido usual, e não se pode construir a série de Fourier clássica. Logo, nem toda função periódica pode ser expandida em série de Fourier sem hipóteses adicionais.
Conclusão sobre (b): a afirmação é falsa — é preciso condições (por exemplo, integrabilidade, piecewise continuidade ou f\in L^2) para garantir uma expansão em série de Fourier.

Passo 4

Por que um movimento harmônico é periódico.
  • Definição simples: movimento harmônico simples (MHS) é aquele descrito por uma função senoidal do tempo, por exemplo
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude, \omega>0 é a frequência angular e \varphi é a fase inicial.
  • Periodicidade: uma função x(t) é periódica se existe T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t. Para x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) temos
x\bigl(t+T\bigr)=A\cos\bigl(\omega(t+T)+\varphi\bigr)=A\cos(\omega t+\varphi+\omega T).
Escolhendo T=\dfrac{2\pi}{\omega} obtemos \omega T=2\pi e portanto x(t+T)=x(t). Assim o movimento harmônico é periódico com período T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Conclusão sobre (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Resumo rápido e incentivo final: resumindo, (a) é V porque perda de energia caracteriza amortecimento (com a nuance de fontes externas que possam repor energia), (b) é F porque existem funções periódicas não integráveis ou muito irregulares para as quais a série de Fourier clássica não existe; (c) é V porque movimentos harmônicos são senoidais e têm período T=2\pi/\omega. Vai dar certo — respira fundo e confia no estudo passo a passo!

Resposta

a) V
b) F
c) V

Exercícios relacionados