Indique
para verdadeiro e
para Falso.
a) Se houver perda de energia por qualquer modo durante a vibração, o sistema pode ser considerado amortecido?
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma séria de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
a) Se houver perda de energia por qualquer modo durante a vibração, o sistema pode ser considerado amortecido?
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma séria de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
Passo 1
O enunciado pede que eu indique, para cada uma das três frases, se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). As frases são:
a) Se houver perda de energia por qualquer modo durante a vibração, o sistema pode ser considerado amortecido?
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma série de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
b) Qualquer função periódica pode ser expandida em uma série de Fourier.
c) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
Não há outros dados numéricos; é uma pergunta conceitual. Vou analisar e justificar cada uma com definição, exemplos e (quando útil) um pequeno cálculo.
Passo 2
Entendendo o que significa “amortecido” e o efeito da perda de energia.
- Intuição: um sistema vibrante é chamado amortecido quando existe um mecanismo que dissipa energia (por exemplo, atrito viscoso, resistência elétrica, histerese), fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo, se não houver entrada de energia externa.
- Exemplo matemático simples (massa-mola com amortecimento viscoso): considere a equação
onde
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento (viscoso) e
é a constante elástica. A energia total (mecânica) do sistema é
Calculando a derivada temporal:
Usando a equação do movimento
obtemos
Portanto, quando
a energia decresce (dissipa) e a amplitude tende a diminuir — isso é amortecimento.
- Observação prática e nuance: se houver perda de energia, existe um mecanismo dissipativo — isso caracteriza amortecimento. Contudo, se houver também uma fonte externa que repõe exatamente essa energia (por exemplo, excitação forçada contínua), o sistema pode não apresentar decaimento da amplitude mesmo com dissipação presente; mas a existência de perda de energia por si só é a definição de que há amortecimento no sistema.
Conclusão sobre (a): a presença de perda de energia indica existência de amortecimento — a frase é verdadeira.
Passo 3
O que significa “expandir em série de Fourier” e quais são as hipóteses necessárias.
- Ideia básica: uma série de Fourier representa uma função periódica
como soma (possivelmente infinita) de senos e cossenos (ou exponenciais complexas):
Os coeficientes
são obtidos por integrais envolvendo
(por exemplo,
, quando o período é
). Logo, é preciso que essas integrais façam sentido para definir os coeficientes.
-
Condições clássicas (Condiciones de Dirichlet): se
é periódica, absolutamente integrável em um período, com número finito de descontinuidades e número finito de máximos e mínimos em cada período (isto é, peça‑wise contínua e com variações limitadas), então a série de Fourier existe e converge ponto a ponto para . Essas hipóteses cobrem a grande maioria das funções que aparecem em problemas práticos. -
Resultado mais geral (teoria
): se é quadrado-integrável numa período (ou seja, ), então a série de Fourier está definida em sentido das somas de Fourier em norma (convergência em média quadrática), mas isso não garante convergência pontual nem que a representação por senos e cossenos faça sentido clássico em todos os pontos. -
Contraexemplo simples para a afirmação “qualquer função periódica”: existe pelo menos uma classe de funções periódicas para as quais não se pode formar a série de Fourier no sentido clássico porque os integrais que definem os coeficientes não existem. Por exemplo, considere a função definida em
por
e estenda-a periodicamente de período
. Perto de
a função tem singularidade não integrável: a integral
diverge quando
. Portanto, os coeficientes de Fourier (que exigem integrais
, etc.) não estão bem definidos no sentido usual, e não se pode construir a série de Fourier clássica. Logo, nem toda função periódica pode ser expandida em série de Fourier sem hipóteses adicionais.
Conclusão sobre (b): a afirmação é falsa — é preciso condições (por exemplo, integrabilidade, piecewise continuidade ou
) para garantir uma expansão em série de Fourier.
Passo 4
Por que um movimento harmônico é periódico.
- Definição simples: movimento harmônico simples (MHS) é aquele descrito por uma função senoidal do tempo, por exemplo
onde
é a amplitude,
é a frequência angular e
é a fase inicial.
- Periodicidade: uma função
é periódica se existe tal que para todo . Para temos
Escolhendo
obtemos
e portanto
. Assim o movimento harmônico é periódico com período
.
Conclusão sobre (c): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Resumo rápido e incentivo final: resumindo, (a) é V porque perda de energia caracteriza amortecimento (com a nuance de fontes externas que possam repor energia), (b) é F porque existem funções periódicas não integráveis ou muito irregulares para as quais a série de Fourier clássica não existe; (c) é V porque movimentos harmônicos são senoidais e têm período
. Vai dar certo — respira fundo e confia no estudo passo a passo!
Resposta
a) V
b) F
c) V
b) F
c) V