Uma indústria de alimentos deseja dimensionar uma bomba para transportar concentrada de frutas advinda de um evaporador e submetida à um processo de resfriamento. Para isto, investigou dados reológicos, que na temperatura de 283 K , foram:
3,97
17,66
35,91
63,67
99,82
115,93
132,17
137,12
156,27
0,52
8,98
26,94
65,62
118,22
161,97
203,09
225,88
263,88
a) Classifique o fluido em termos de comportamento reológico nesta temperatura, justificando detalhadamente e discutindo qual é o comportamento deste tipo de fluido em função da tensão de cisalhamento. (
pontos)
b) Determine o índice de comportamento do escoamento e a consistência do fluido à esta temperatura ( 5 pontos)
c) Determine a viscosidade dinâmica (real ou aparente) do fluido caso a taxa de cisalhamento seja
. (5 pontos)
d) Caso a temperatura do processo seja aumentada para 313 K , qual seria o comportamento da viscosidade nesta condição (qualitativamente)? Explique o motivo de tal comportamento e como esta modificação influencia no transporte deste fluido. (5 pontos)
|
|
3,97 | 17,66 | 35,91 | 63,67 | 99,82 | 115,93 | 132,17 | 137,12 | 156,27 |
|
|
0,52 | 8,98 | 26,94 | 65,62 | 118,22 | 161,97 | 203,09 | 225,88 | 263,88 |
b) Determine o índice de comportamento do escoamento e a consistência do fluido à esta temperatura ( 5 pontos)
c) Determine a viscosidade dinâmica (real ou aparente) do fluido caso a taxa de cisalhamento seja
d) Caso a temperatura do processo seja aumentada para 313 K , qual seria o comportamento da viscosidade nesta condição (qualitativamente)? Explique o motivo de tal comportamento e como esta modificação influencia no transporte deste fluido. (5 pontos)
Passo 1
Aqui está o que o enunciado pede e os dados que ele fornece (sem começar a resolver ainda). Perguntas do exercício:
- (a) Classificar o fluido em termos de comportamento reológico à temperatura de
, justificando e discutindo como o comportamento depende da tensão de cisalhamento. - (b) Determinar o índice de comportamento do escoamento e a consistência do fluido nessa temperatura.
- (c) Determinar a viscosidade dinâmica (real ou aparente) do fluido quando a taxa de cisalhamento é
. - (d) Descrever qualitativamente o que acontece com a viscosidade ao aumentar a temperatura para
, explicar por quê e como isso influencia o transporte do fluido.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
Observação: as unidades de
já estão em
e a taxa de cisalhamento está em
. A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Conceitos e modelo que vamos usar (aula rápida e prática):
- A tensão de cisalhamento é
e a taxa de cisalhamento é . - Fluido newtoniano: a relação é linear e proporcionalidade constante chamada viscosidade dinâmica
:
Aqui
é constante independe de
.
- Muitos fluidos industriais não seguem essa lei; um modelo muito usado é o modelo de potência (Ostwald–de Waele, ou power-law):
onde:
-
é a consistência (unidade: ); -
é o índice de comportamento (adimensional). - Interpretação rápida de
: -
→ comportamento newtoniano; -
→ fluido pseudoplástico (shear-thinning): a viscosidade aparente diminui quando aumenta; -
→ fluido dilatante (shear-thickening): a viscosidade aparente aumenta com .
-
- Para ajustar experimentalmente
e usamos logaritmo para linearizar: tomando ln em ambos os lados
Isso é uma reta
com
,
,
e
. Podemos então aplicar regressão linear (método dos mínimos quadrados) para obter
e
.
Passo 3
Preparando os dados para a regressão (explico cada passo numérico para você poder refazer sem calculadora científica, aproximando mentalmente):
- Vou transformar os pares
em . - Em seguida calculo as somas necessárias:
- Fórmulas da regressão (mínimos quadrados) para a reta
:
Aqui
será o nosso
e
.
Passo 4
Cálculo numérico (mostro os valores aproximados usados no ajuste; eu já converti cada par para
usando log natural e somei — acompanhe para entender a mecânica):
Valores aproximados obtidos a partir dos dados:
Valores aproximados
Com esses
calculei (aproximadamente):
Agora aplico as fórmulas da regressão para obter
e
.
Passo 5
Cálculo de
e
(com as fórmulas da regressão):
Substituindo os valores e calculando (aproximação mostrada):
Em seguida
logo
Passo 6
Classificação reológica e justificativa detalhada (resumindo a interpretação do resultado numérico e a física por trás):
- Como encontramos
, o fluido é classificado como pseudoplástico (shear-thinning). - Justificativa: no modelo power-law
, quando a tensão cresce com a taxa de cisalhamento, porém menos que proporcionalmente (crescimento sublinear). Em termos de viscosidade aparente:
e como
,
diminui quando
aumenta — esse é o comportamento típico de fluidos com alinhamento de partículas, quebra de rede interna ou reorganização molecular sob cisalhamento (por isso “shear-thinning”).
- Observação sobre tensão de cisalhamento: ao aumentar
a tensão aumenta, mas a razão (viscosidade) diminui; para escoamento em bombas isso significa que ao aumentar taxa de deformação local (por exemplo em regiões de alta velocidade) o fluido fica menos viscoso e oferece menos resistência.
Passo 7
Cálculo da viscosidade aparente quando
(passo a passo):
- Primeiro calcule a tensão correspondente usando o modelo encontrado:
Substituindo
e
:
- A viscosidade aparente é
Portanto a viscosidade dinâmica aparente a
é cerca de
.
Passo 8
Efeito qualitativo do aumento da temperatura para
e implicações no transporte:
- Em geral, para líquidos e suspensões orgânicas a viscosidade decresce com o aumento da temperatura. Fisicamente: aumento da energia térmica reduz forças intermoleculares/estrutura (ligações fracas, agregados), facilitando o deslizamento entre camadas do fluido. No modelo power-law isso normalmente aparece como uma redução significativa de
(consistência) e, frequentemente, um leve aumento de em direção a (ou seja, o fluido tende a ficar mais próximo do comportamento newtoniano conforme a temperatura sobe). - Consequência prática no transporte: menor viscosidade aparente → menores perdas de carga em tubulações para a mesma vazão e, portanto, menor potência necessária para a bomba; o fluido escoa mais facilmente. Porém atenção: diminuir a viscosidade também pode alterar a estabilidade do produto (sedimentação, separação), e pode exigir ajustes em componentes (válvulas, vedação) por diferença de comportamento reológico.
- Resumindo qualitativamente: ao passar de
para espera-se uma redução da viscosidade (mais fácil bombeamento) e possivelmente um comportamento menos marcadamente shear-thinning (índice tende a aumentar).
Resposta
(a) Fluido pseudoplástico (shear-thinning): comportamento do tipo power-law com
, ou seja, a viscosidade aparente diminui quando a taxa de cisalhamento aumenta; a tensão cresce sublinearmente com a taxa de cisalhamento.
(b) e
.
(c) .
(d) Ao aumentar para a viscosidade deverá diminuir qualitativamente (redução de
e possível aproximação de
a 1), o que facilita o bombeamento (menor perda de carga e menor potência requerida), embora possa afetar questões de estabilidade do produto.
(b)
(c)
(d) Ao aumentar para