Uma indústria de alimentos deseja dimensionar uma bomba para transportar concentrada de frutas advinda de um evaporador e submetida à um processo de resfriamento. Para isto, investigou dados reológicos, que na temperatura de 283 K , foram:
\tau\left(\frac{N}{m^{2}}\right) 3,97 17,66 35,91 63,67 99,82 115,93 132,17 137,12 156,27
\frac{d v}{d y}\left(s^{-1}\right) 0,52 8,98 26,94 65,62 118,22 161,97 203,09 225,88 263,88
a) Classifique o fluido em termos de comportamento reológico nesta temperatura, justificando detalhadamente e discutindo qual é o comportamento deste tipo de fluido em função da tensão de cisalhamento. ( \mathbf{1 0} pontos)
b) Determine o índice de comportamento do escoamento e a consistência do fluido à esta temperatura ( 5 pontos)
c) Determine a viscosidade dinâmica (real ou aparente) do fluido caso a taxa de cisalhamento seja 50 \mathrm{~s}^{-1}. (5 pontos)
d) Caso a temperatura do processo seja aumentada para 313 K , qual seria o comportamento da viscosidade nesta condição (qualitativamente)? Explique o motivo de tal comportamento e como esta modificação influencia no transporte deste fluido. (5 pontos)

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e os dados que ele fornece (sem começar a resolver ainda). Perguntas do exercício:
  • (a) Classificar o fluido em termos de comportamento reológico à temperatura de 283\\ \mathrm{K}, justificando e discutindo como o comportamento depende da tensão de cisalhamento.
  • (b) Determinar o índice de comportamento do escoamento e a consistência do fluido nessa temperatura.
  • (c) Determinar a viscosidade dinâmica (real ou aparente) do fluido quando a taxa de cisalhamento é 50\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • (d) Descrever qualitativamente o que acontece com a viscosidade ao aumentar a temperatura para 313\\ \mathrm{K}, explicar por quê e como isso influencia o transporte do fluido.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} \tau\\ (\mathrm{Pa}) & \dfrac{dv}{dy}\\ (\mathrm{s^{-1}})\\hline 3{,}97 & 0{,}52\\\\ 17{,}66 & 8{,}98\\\\ 35{,}91 & 26{,}94\\\\ 63{,}67 & 65{,}62\\\\ 99{,}82 & 118{,}22\\\\ 115{,}93 & 161{,}97\\\\ 132{,}17 & 203{,}09\\\\ 137{,}12 & 225{,}88\\\\ 156{,}27 & 263{,}88 \end{array}
Observação: as unidades de \tau já estão em \mathrm{N\!/m^{2}}=\mathrm{Pa} e a taxa de cisalhamento está em \mathrm{s^{-1}}. A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Conceitos e modelo que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A tensão de cisalhamento é \tau e a taxa de cisalhamento é \dot{\gamma}=\dfrac{dv}{dy}.
  • Fluido newtoniano: a relação é linear e proporcionalidade constante chamada viscosidade dinâmica \eta:
\tau = \eta\,\dot{\gamma}.
Aqui \eta é constante independe de \dot{\gamma}.
  • Muitos fluidos industriais não seguem essa lei; um modelo muito usado é o modelo de potência (Ostwald–de Waele, ou power-law):
\tau = K\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde:
  • K é a consistência (unidade: \mathrm{Pa\cdot s^{n}});
  • n é o índice de comportamento (adimensional).
  • Interpretação rápida de n:
    • n=1 → comportamento newtoniano;
    • n<1 → fluido pseudoplástico (shear-thinning): a viscosidade aparente diminui quando \dot{\gamma} aumenta;
    • n>1 → fluido dilatante (shear-thickening): a viscosidade aparente aumenta com \dot{\gamma}.
  • Para ajustar experimentalmente K e n usamos logaritmo para linearizar: tomando ln em ambos os lados
\ln\tau = \ln K + n\,\ln\dot{\gamma}.
Isso é uma reta y = a + b x com y=\ln\tau, x=\ln\dot{\gamma}, b=n e a=\ln K. Podemos então aplicar regressão linear (método dos mínimos quadrados) para obter n e \ln K.

Passo 3

Preparando os dados para a regressão (explico cada passo numérico para você poder refazer sem calculadora científica, aproximando mentalmente):
  • Vou transformar os pares (\dot{\gamma},\tau) em (x,y)=(\ln\dot{\gamma},\ln\tau).
  • Em seguida calculo as somas necessárias:
\sum x,\quad \sum y,\quad \sum x^2,\quad \sum xy,\quad N.
  • Fórmulas da regressão (mínimos quadrados) para a reta y=a+bx:
b = \frac{N\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad a = \frac{\sum y - b\sum x}{N}.
Aqui b será o nosso n e K=\mathrm{e}^{a}.

Passo 4

Cálculo numérico (mostro os valores aproximados usados no ajuste; eu já converti cada par para (x,y) usando log natural e somei — acompanhe para entender a mecânica):
Valores aproximados (x_i,y_i)=(\ln\dot{\gamma_i},\ln\tau_i) obtidos a partir dos dados:
\begin{array}{cc} x_1=-0{,}6539,\\ & y_1=1{,}3790\\\ x_2=2{,}1950,\\ & y_2=2{,}8700\\\ x_3=3{,}2936,\\ & y_3=3{,}5810\\\ x_4=4{,}1835,\\ & y_4=4{,}1540\\\ x_5=4{,}7725,\\ & y_5=4{,}6034\\\ x_6=5{,}0874,\\ & y_6=4{,}7529\\\ x_7=5{,}3137,\\ & y_7=4{,}8841\\\ x_8=5{,}4200,\\ & y_8=4{,}9209\\\ x_9=5{,}5755,\\ & y_9=5{,}0516 \end{array}
Com esses x_i,y_i calculei (aproximadamente):
\begin{aligned} \sum x &\approx 35{,}1873,\\\ \sum y &\approx 36{,}1969,\\\ \sum x^2 &\approx 170{,}9581,\\\ \sum xy &\approx 161{,}5089,\\\ N &= 9. \end{aligned}
Agora aplico as fórmulas da regressão para obter b=n e a=\ln K.

Passo 5

Cálculo de n e K (com as fórmulas da regressão):
n = \frac{N\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^2 - (\sum x)^2} = \frac{9\cdot 161{,}5089 - 35{,}1873\cdot 36{,}1969}{9\cdot 170{,}9581 - (35{,}1873)^2}.
Substituindo os valores e calculando (aproximação mostrada):
n \approx 0{,}599.
Em seguida
\ln K = \frac{\sum y - n\sum x}{N}\approx 1{,}6815,
logo
K = e^{\,1{,}6815}\approx 5{,}37\\ (\mathrm{Pa\cdot s^{n}}).

Passo 6

Classificação reológica e justificativa detalhada (resumindo a interpretação do resultado numérico e a física por trás):
  • Como encontramos n\approx 0{,}599<1, o fluido é classificado como pseudoplástico (shear-thinning).
  • Justificativa: no modelo power-law \tau=K\dot{\gamma}^{\,n}, quando n<1 a tensão cresce com a taxa de cisalhamento, porém menos que proporcionalmente (crescimento sublinear). Em termos de viscosidade aparente:
\eta_{\mathrm{app}}(\dot{\gamma})=\frac{\tau}{\dot{\gamma}}=K\,\dot{\gamma}^{\,n-1},
e como n-1<0, \eta_{\mathrm{app}} diminui quando \dot{\gamma} aumenta — esse é o comportamento típico de fluidos com alinhamento de partículas, quebra de rede interna ou reorganização molecular sob cisalhamento (por isso “shear-thinning”).
  • Observação sobre tensão de cisalhamento: ao aumentar \dot{\gamma} a tensão \tau aumenta, mas a razão \tau/\dot{\gamma} (viscosidade) diminui; para escoamento em bombas isso significa que ao aumentar taxa de deformação local (por exemplo em regiões de alta velocidade) o fluido fica menos viscoso e oferece menos resistência.

Passo 7

Cálculo da viscosidade aparente quando \dot{\gamma}=50\\ \mathrm{s^{-1}} (passo a passo):
  • Primeiro calcule a tensão correspondente usando o modelo encontrado:
\tau(50)=K\,(50)^{n}.
Substituindo K\approx 5{,}37 e n\approx 0{,}599:
\tau(50)\approx 5{,}37\cdot 50^{0{,}599}\approx 55{,}9\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aprox.}).
  • A viscosidade aparente é
\eta_{\mathrm{app}}=\frac{\tau(50)}{50}\approx \frac{55{,}9}{50}\approx 1{,}12\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Portanto a viscosidade dinâmica aparente a 50\\ \mathrm{s^{-1}} é cerca de 1{,}12\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 8

Efeito qualitativo do aumento da temperatura para 313\\ \mathrm{K} e implicações no transporte:
  • Em geral, para líquidos e suspensões orgânicas a viscosidade decresce com o aumento da temperatura. Fisicamente: aumento da energia térmica reduz forças intermoleculares/estrutura (ligações fracas, agregados), facilitando o deslizamento entre camadas do fluido. No modelo power-law isso normalmente aparece como uma redução significativa de K (consistência) e, frequentemente, um leve aumento de n em direção a 1 (ou seja, o fluido tende a ficar mais próximo do comportamento newtoniano conforme a temperatura sobe).
  • Consequência prática no transporte: menor viscosidade aparente → menores perdas de carga em tubulações para a mesma vazão e, portanto, menor potência necessária para a bomba; o fluido escoa mais facilmente. Porém atenção: diminuir a viscosidade também pode alterar a estabilidade do produto (sedimentação, separação), e pode exigir ajustes em componentes (válvulas, vedação) por diferença de comportamento reológico.
  • Resumindo qualitativamente: ao passar de 283\\ \mathrm{K} para 313\\ \mathrm{K} espera-se uma redução da viscosidade (mais fácil bombeamento) e possivelmente um comportamento menos marcadamente shear-thinning (índice n tende a aumentar).

Resposta

(a) Fluido pseudoplástico (shear-thinning): comportamento do tipo power-law com n<1, ou seja, a viscosidade aparente diminui quando a taxa de cisalhamento aumenta; a tensão cresce sublinearmente com a taxa de cisalhamento.
(b) n \approx 0{,}599 e K \approx 5{,}37\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.
(c) \eta_{\mathrm{app}}(50\\ \mathrm{s^{-1}})\approx 1{,}12\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
(d) Ao aumentar para 313\\ \mathrm{K} a viscosidade deverá diminuir qualitativamente (redução de K e possível aproximação de n a 1), o que facilita o bombeamento (menor perda de carga e menor potência requerida), embora possa afetar questões de estabilidade do produto.

Exercícios relacionados