Uma indústria deseja fabricar caixas iguais em forma de paralelepípedo com volume por caixa igual a 128 unidades de volume. O material a ser utilizado na base tem custo de
por unidade de área, o material a ser usado nas paredes laterais tem custo de
por unidade de área e o material a ser usado na tampa tem custo de
por unidade de área. Encontre as dimensões da caixa com menor custo de material.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos que fabricar caixas que são parecidas com um paralelepípedo (sabe, aquelas caixas retangulares). Cada caixa deve ter um volume de 128 unidades cúbicas. Os materiais para a base, as paredes laterais e a tampa têm custos diferentes por unidade de área: R$ 7,00 para a base, R$ 2,00 para as paredes e R$ 1,00 para a tampa. Nosso objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que fazem com que o custo total dos materiais seja o menor possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria (para lidar com o volume e as áreas) e cálculo (para otimizar o custo).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis das dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento da caixa -
= largura da caixa -
= altura da caixa
Sabemos que o volume
de um paralelepípedo é dado por:
E sabemos que o volume deve ser 128 unidades, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das partes da caixa para determinar o custo. A caixa tem uma base, quatro paredes e uma tampa.
- Área da base:
- Área da tampa: Mesma da base,
- Área das paredes laterais: Temos duas paredes de cada tipo:
- Duas paredes com área
- Duas paredes com área
- Duas paredes com área
Então, a área total das paredes é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo de cada parte:
- Custo da base:
- Custo da tampa:
- Custo das paredes:
(já que o custo por unidade de área das paredes laterais é R$ 2,00)
Então, o custo total
da caixa é:
Passo 5
Precisamos minimizar o custo
sujeito à restrição do volume
. Para facilitar, vamos expressar
em termos de
e
usando a restrição do volume:
Agora, substituímos
na função de custo:
Agora, temos o custo
em termos de
e
. Para encontrar o mínimo, precisamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver as equações (1) e (2) para
e
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Dividindo a equação (3) pela equação (4):
Passo 8
Agora sabemos que
. Vamos usar isso na restrição do volume para encontrar
:
Também, pela equação (3):
Na verdade,
é
, então
. Mas para simplificar, podemos deixar em termos de frações exatas:
E,
Resposta
As dimensões da caixa com menor custo de material são: