Qual a influência dos seguintes fatores sobre a eficácia do ciclo de Carnot (COP do ciclo ideal):
temperatura de evaporação.

Passo 1

Você perguntou qual a influência da temperatura de evaporação sobre a eficácia (COP) do ciclo de Carnot (ciclo ideal).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O fator a analisar é a temperatura de evaporação (vou chamar de T_{ev}).
  • Entende-se que a outra temperatura relevante — a do condensador — se mantém fixa (vou chamar de T_{cond}).
  • Queremos saber como uma variação de T_{ev} afeta o COP do ciclo de Carnot.

Passo 2

Vamos definir o que é o COP do ciclo de Carnot para refrigeração e explicar as variáveis. O COP (coeficiente de desempenho) para um refrigerador ideal de Carnot é a razão entre o calor retirado do espaço frio e o trabalho fornecido. A fórmula clássica é:
COP = \frac{T_{ev}}{T_{cond}-T_{ev}}
onde:
  • T_{ev} é a temperatura absoluta do evaporador (temperatura do reservatório frio), em \text{K} (Kelvin).
  • T_{cond} é a temperatura absoluta do condensador (reservatório quente), em \text{K}.
    Importante: as temperaturas têm de estar em Kelvin; usar Celsius e esquecer de converter causa erro porque o COP depende das diferenças absolutas.

Passo 3

Agora vamos analisar matematicamente a influência de T_{ev} no COP. Tomando T_{cond} como constante, diferenciamos COP em relação a T_{ev}. Usamos a regra do quociente. Partimos de
COP(T_{ev})=\frac{T_{ev}}{T_{cond}-T_{ev}}.
Aplicando a diferenciação:
\frac{d\,COP}{dT_{ev}} = \frac{(T_{cond}-T_{ev})\cdot 1 - T_{ev}\cdot(-1)}{(T_{cond}-T_{ev})^{2}}.
Simplificando o numerador:
(T_{cond}-T_{ev}) + T_{ev} = T_{cond}.
Portanto:
\frac{d\,COP}{dT_{ev}}=\frac{T_{cond}}{(T_{cond}-T_{ev})^{2}}.

Passo 4

Interpretação do resultado matemático: a derivada \dfrac{d\,COP}{dT_{ev}}=\dfrac{T_{cond}}{(T_{cond}-T_{ev})^{2}} é sempre positiva (pois T_{cond}>0 e (T_{cond}-T_{ev})^{2}>0 enquanto T_{ev}<T_{cond}). Isso significa que, mantendo T_{cond} fixo, aumentar T_{ev} faz o COP aumentar. Em palavras: quanto mais alta a temperatura de evaporação (isto é, quanto menor a diferença de temperatura entre condensador e evaporador), maior a eficiência do ciclo ideal.

Passo 5

Intuição física e limites práticos (para você poder usar na prova e lembrar bonito):
  • Física simples: aumentar T_{ev} reduz o “salto térmico” que o compressor precisa vencer, logo o trabalho requerido diminui para a mesma retirada de calor; assim o COP sobe.
  • Limite matemático: se T_{ev} se aproxima de T_{cond} (caso idealizado), o denominador T_{cond}-T_{ev} vai a zero e o COP tende ao infinito — isso é um limite teórico, não realista porque irreversibilidades aparecem no mundo real.
  • Se T_{ev} cai muito (muito frio), o COP cai e o sistema fica menos eficiente.
  • Lembre-se sempre: temperaturas em Kelvin; uma variação de 1\\ \text{K} em \,T_{ev} não é a mesma coisa que 1^\circ\text{C} se você não estiver convertendo adequadamente para Kelvin na fórmula.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar (passo a passo para você reproduzir na prova): suponha T_{cond}=308\\ \text{K} (aprox. 35^\circ\text{C}).
  • Se T_{ev}=273\\ \text{K} (aprox. 0^\circ\text{C}):
COP=\frac{273}{308-273}=\frac{273}{35}\approx 7{,}80.
  • Se aumentarmos T_{ev} para 283\\ \text{K} (aprox. 10^\circ\text{C}):
COP=\frac{283}{308-283}=\frac{283}{25}=11{,}32.
Viu? Subir T_{ev} em 10\\ \text{K} aumentou o COP significativamente. A derivada dá a sensibilidade local: para T_{ev}=273\\ \text{K},
\frac{d\,COP}{dT_{ev}}=\frac{308}{35^{2}}=\frac{308}{1225}\approx 0{,}251\\ \text{(por K)},
ou seja, um aumento de 1\\ \text{K} em T_{ev} aumenta o COP em cerca de 0{,}25 naquele ponto.

Resposta

O aumento de T_{ev} (temperatura de evaporação) aumenta o COP do ciclo de Carnot quando T_{cond} é mantida fixa; matematicamente COP=\frac{T_{ev}}{T_{cond}-T_{ev}}
e \frac{d\,COP}{dT_{ev}}=\frac{T_{cond}}{(T_{cond}-T_{ev})^{2}}>0,
com T_{ev} e T_{cond} em \text{K}.