u=Av^2 e^sR
Inicialmente o sistema está num estado a uma temperatura T0 e a uma pressão P0. Depois ele é expandido de forma isentrópica (s=constante) até uma pressão Pf=P02. Qual é sua temperatura final Tf ?
24-) Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como
WT=n R T l n(PiPf)

Passo 1

Vamos analisar o primeiro exercício. Temos a expressão da energia interna $ u = \frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}} $, onde $ A $ e $ R $ são constantes. Inicialmente, o sistema está a uma temperatura $ T_{0} $ e pressão $ P_{0} $. O sistema sofre uma expansão isentrópica, ou seja, o entropy $ s $ permanece constante, até que a pressão final seja $ P_{f} = \frac{P_{0}}{2} $. Nosso objetivo é encontrar a temperatura final $ T_{f} $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das relações da termodinâmica para processos isentrópicos, especialmente para gases ideais, e utilizar as equações de estado.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para um processo isentrópico em um gás ideal, a relação entre pressão e temperatura é dada por:
TfT0 = ( PfP0 )^gamma - 1gamma
Onde $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.

Passo 3

Sabemos que a pressão final é $ P_f = \frac{P_0}{2} $. Substituindo na equação:
Pf = P02

Passo 4

Isolando $ T_f $:
Tf

Passo 5

Agora, vamos resolver o exercício 24. Queremos mostrar que o trabalho realizado por um gás ideal em um processo isotérmico pode ser expresso como:
WT = n R T ln(PiPf)
Aqui, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante dos gases ideais, $ T $ é a temperatura constante, $ P_i $ é a pressão inicial e $ P_f $ é a pressão final.
Para provar isso, vamos lembrar da definição de trabalho em processos termodinâmicos e das propriedades dos processos isotérmicos para gases ideais.

Passo 6

O trabalho realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado por:
W = integralVi^Vf P , dV
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a pressão $ P $ pode ser expressa pela equação de estado dos gases ideais:
P

Passo 7

Substituindo $ P $ na integral do trabalho:
P

Passo 8

A integral de $ \frac{1}{V} $ em relação a $ V $ é o logaritmo natural:
1V
Aplicando os limites de integração:
V

Passo 9

Para relacionar as pressões, usamos a equação de estado novamente:
Pi ViT = Pf VfT Rightarrow Pi Vi = Pf Vf
Isolando $ \frac{V_f}{V_i} $:
VfVi
Substituindo na expressão do trabalho:
VfVi = PiPf

Resposta

Assim, mostramos que o trabalho realizado em um processo isotérmico é:
WT = n R T ln(PiPf)

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