Inicialmente o sistema está num estado a uma temperatura
e a uma pressão
. Depois ele é expandido de forma isentrópica (s=constante) até uma pressão
. Qual é sua temperatura final
?
24-) Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como
24-) Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como
Passo 1
Vamos analisar o primeiro exercício. Temos a expressão da energia interna $ u = \frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}} $, onde $ A $ e $ R $ são constantes. Inicialmente, o sistema está a uma temperatura $ T_{0} $ e pressão $ P_{0} $. O sistema sofre uma expansão isentrópica, ou seja, o entropy $ s $ permanece constante, até que a pressão final seja $ P_{f} = \frac{P_{0}}{2} $. Nosso objetivo é encontrar a temperatura final $ T_{f} $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das relações da termodinâmica para processos isentrópicos, especialmente para gases ideais, e utilizar as equações de estado.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para um processo isentrópico em um gás ideal, a relação entre pressão e temperatura é dada por:
Onde $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.
Passo 3
Sabemos que a pressão final é $ P_f = \frac{P_0}{2} $. Substituindo na equação:
Passo 4
Isolando $ T_f $:
Passo 5
Agora, vamos resolver o exercício 24. Queremos mostrar que o trabalho realizado por um gás ideal em um processo isotérmico pode ser expresso como:
Aqui, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante dos gases ideais, $ T $ é a temperatura constante, $ P_i $ é a pressão inicial e $ P_f $ é a pressão final.
Para provar isso, vamos lembrar da definição de trabalho em processos termodinâmicos e das propriedades dos processos isotérmicos para gases ideais.
Passo 6
O trabalho realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado por:
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a pressão $ P $ pode ser expressa pela equação de estado dos gases ideais:
Passo 7
Substituindo $ P $ na integral do trabalho:
Passo 8
A integral de $ \frac{1}{V} $ em relação a $ V $ é o logaritmo natural:
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Para relacionar as pressões, usamos a equação de estado novamente:
Isolando $ \frac{V_f}{V_i} $:
Substituindo na expressão do trabalho:
Resposta
Assim, mostramos que o trabalho realizado em um processo isotérmico é: