Se retirarmos agora esta pequena parte da parede do recipiente, as moléculas que teriam colidido com ela escaparão pelo buraco. Supondo que nada entre pelo buraco, mostre que o número N de moléculas dentro do recipiente em função do tempo é governado pelo equação diferencial
Resolva esta equação (assumindo temperatura constante) para obter
, onde
é o tempo característico para N cair por um fator e. Solve this equation (assuming constant temperature) to obtain a formula
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um recipiente com um buraco pequeno por onde as moléculas estão escapando. Queremos descobrir como o número de moléculas, $ N $, dentro do recipiente varia com o tempo, $ t $. Para isso, vamos usar a equação diferencial fornecida:
Aqui, $ V $ é o volume do recipiente, $ k $ é a constante de Boltzmann, $ T $ é a temperatura, e $ m $ é a massa das moléculas.
Passo 2
A equação diferencial dada é de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos rearranjar a equação para isolar $ dN $ e $ dt $:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de $ \frac{1}{N} dN $ é $ \ln N $, e a integral do lado direito é $ \frac{1}{2V} \sqrt{\frac{kT}{m}} , t + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
Passo 4
Para resolver para $ N $, aplicamos a exponenciação em ambos os lados da equação:
Aqui, $ e^{C} $ é uma constante que podemos chamar de $ N_0 $, que representa o número inicial de moléculas no recipiente.
Passo 5
Substituindo $ e^{C} $ por $ N_0 $, temos:
Contudo, percebemos que o número de moléculas está diminuindo com o tempo, então devemos incluir um sinal negativo no expoente:
Agora, identificamos o tempo característico $ \tau $ como:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde $ \tau = \frac{2V}{\sqrt{\frac{kT}{m}}} $ é o tempo característico para $ N $ diminuir por um fator $ e $.