No instante t=0, uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor. Se a constante de tempo indutiva é 37,0 \mathrm{~ms}, em que instante a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é igual à taxa com a qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série com uma bateria, um resistor R e um indutor L. Foi dada a constante de tempo indutiva
\tau = \frac{L}{R} = 37{,}0\text{ ms}
e nos pedem o instante t em que a potência dissipada no resistor é igual à potência que vai para o campo magnético do indutor. Vamos precisar da expressão da corrente em função de t e das fórmulas de potência no resistor e de energia armazenada no indutor.

Passo 2

A corrente no circuito RL em regime de “ligar a bateria em t=0” é
i(t) = \frac{E}{R}\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)
onde E é a tensão da bateria e \tau = L/R.

Passo 3

A potência dissipada no resistor é
P_R(t) = i^2(t)\,R
e a taxa de variação da energia armazenada no indutor é
P_L(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl(\tfrac12 L\,i^2(t)\Bigr) = L\,i(t)\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.
Queremos P_R(t)=P_L(t). Como i(t)>0 para t>0, podemos dividir ambos os lados por i(t) e obter
i(t)\,R \;=\; L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.

Passo 4

Calculamos \mathrm{d}i/\mathrm{d}t:
\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \frac{E}{R}\,\frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau} = \frac{E}{L}\,e^{-t/\tau},
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i(t)\,R = \frac{E}{R}\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)\,R = E\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)
e
L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = E\,e^{-t/\tau}.
Igualando:
E\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr) = E\,e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad 1 - e^{-t/\tau} = e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau} = \tfrac12.

Passo 5

Da condição e^{-t/\tau}=1/2 vem
t = \tau \ln 2 = 37{,}0\text{ ms}\;\ln 2 \approx 37{,}0\times0{,}693 = 25{,}6\text{ ms}.

Resposta

O instante em que a potência dissipada no resistor é igual à potência armazenada no indutor é
t = \tau \ln 2 \approx 25{,}6\text{ ms}.

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