Uma instituição possui estudantes distribuídos da seguinte forma:
- 600 no turno matutino
- 900 no turno vespertino
- 500 no turno noturno
Deseja-se selecionar uma amostra de 200 estudantes.
a) Explique por que a Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) pode ser apropriada.
b) Determine quantos estudantes devem ser selecionados de cada turno, considerando alocação proporcional.
c) Descreva o procedimento completo para realizar a seleção.
d) Compare essa estratégia com a AAS nesse contexto específico.
a) Explique por que a Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) pode ser apropriada.
b) Determine quantos estudantes devem ser selecionados de cada turno, considerando alocação proporcional.
c) Descreva o procedimento completo para realizar a seleção.
d) Compare essa estratégia com a AAS nesse contexto específico.
Passo 1
O enunciado dá as contagens de estudantes por turno e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
- Turno matutino:
estudantes. - Turno vespertino:
estudantes. - Turno noturno:
estudantes. - Tamanho da amostra desejada:
estudantes.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Justificar por que a Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) pode ser apropriada.
b) Calcular quantos estudantes devem ser selecionados de cada turno usando alocação proporcional.
c) Descrever o procedimento completo para realizar a seleção (passo a passo prático).
d) Comparar essa estratégia com a Amostragem Aleatória Simples (AAS) no contexto dado.
a) Justificar por que a Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) pode ser apropriada.
b) Calcular quantos estudantes devem ser selecionados de cada turno usando alocação proporcional.
c) Descrever o procedimento completo para realizar a seleção (passo a passo prático).
d) Comparar essa estratégia com a Amostragem Aleatória Simples (AAS) no contexto dado.
Passo 2
O que é AAE e por que pode ser apropriada aqui (explicação didática e intuitiva).
- Ideia básica da AAE: dividir a população em “fatias” (estratos) homogêneas internamente e heterogêneas entre si, e então amostrar dentro de cada estrato. Cada estrato é tratado como uma mini-população onde se aplica uma amostragem aleatória simples.
- Por que isso ajuda? Se os turnos têm características diferentes (por exemplo, comportamento de estudo, disponibilidade, rendimento, horários), amostrar cada turno separadamente garante que todos os turnos fiquem bem representados na amostra. Isso tende a diminuir a variabilidade das estimativas (mais precisão) quando comparado a tirar a amostra “na louca” da população inteira.
- Condições que tornam AAE apropriada (cheque mental para a prova):
- Existe uma variável natural de estratificação disponível e confiável (aqui: o turno).
- Espera-se diferença entre turnos em relação à(s) variável(is) de interesse.
- É possível obter um quadro (lista) dos estudantes em cada turno.
- Frase curta para usar na prova: “AAE é apropriada porque a população divide-se naturalmente em três estratos (turnos), garantindo representação adequada de cada turno e geralmente aumentando a precisão das estimativas quando há diferença entre turnos.”
Passo 3
Fórmula da alocação proporcional (a parte “matemática” e como aplicá-la).
- Definição das variáveis da fórmula:
-
= tamanho do estrato (número de estudantes no turno ). -
= tamanho total da população. -
= tamanho total da amostra desejada. -
= tamanho da amostra a ser retirada do estrato .
-
- Fórmula da alocação proporcional:
- Primeiro calcule o total da população:
Passo 4
Cálculos explícitos para cada turno (substituindo na fórmula e desenvolvendo passo a passo).
- Matutino:
Calcule em etapas:
e
. Logo
.
- Vespertino:
Calcule:
e
. Logo
.
- Noturno:
Calcule:
e
. Logo
.
Cheque de consistência:
portanto as partes somam exatamente a amostra total.
Observação prática sobre arredondamento (caso não desse inteiro): se os
não fossem inteiros, arredonda-se de forma a que a soma final seja
(por exemplo, arredondar e ajustar o(s) estrato(s) com maior fração residual). Aqui não há esse problema porque os resultados deram inteiros exatos.
Passo 5
Procedimento completo e concreto para realizar a seleção (passo a passo operacional, como fazer na prova e na prática).
- Preparação do quadro de amostragem:
- Obter listas separadas e atualizadas dos estudantes de cada turno: uma lista para o matutino com
nomes, outra para o vespertino com nomes, e outra para o noturno com nomes. Estas listas são os quadros estratificados.
- Obter listas separadas e atualizadas dos estudantes de cada turno: uma lista para o matutino com
- Numerar cada lista:
- Atribuir um identificador único a cada estudante dentro do seu turno, por exemplo
para o matutino; para o vespertino; para o noturno.
- Atribuir um identificador único a cada estudante dentro do seu turno, por exemplo
- Decidir o método de amostragem dentro de cada estrato (exemplos práticos, escolher um):
- Método A (amostragem aleatória simples por gerador de números): para cada estrato, gerar
números aleatórios distintos no intervalo apropriado (por exemplo, a para matutino) e selecionar os estudantes com esses identificadores. Explicação curta do método: gera-se números aleatórios uniformes, ordena-se e pega-se os primeiros . - Método B (amostragem sistemática, eficiente quando as listas estão ordenadas aleatoriamente): calcular o intervalo
. Escolher um ponto de partida aleatório entre e e então selecionar cada -ésimo elemento. Exemplo concreto aqui: - Para o matutino:
. Escolhe-se um início aleatório entre e e seleciona-se até obter nomes. - Para o vespertino:
. - Para o noturno:
. - Observação: aqui todos os
são , então a sistemática é simples; ter cuidado apenas se houver periodicidade na ordenação da lista que possa enviesar a amostra.
- Para o matutino:
- Método A (amostragem aleatória simples por gerador de números): para cada estrato, gerar
- Seleção efetiva:
- Aplicar o mesmo método escolhido de forma independente em cada estrato, retirando exatamente
, e respectivamente. Usar amostragem sem reposição dentro de cada estrato (cada estudante só pode ser escolhido uma vez).
- Aplicar o mesmo método escolhido de forma independente em cada estrato, retirando exatamente
- Registro e reproducibilidade:
- Documentar o método, o gerador de números usado (por exemplo, semente do gerador), e os IDs selecionados — isso permite reproduzir ou auditar a seleção.
- Montagem da amostra final:
- Unir as sub-amostras dos três turnos para formar a amostra total de
estudantes.
- Unir as sub-amostras dos três turnos para formar a amostra total de
- Pós-seleção (opcional, prático):
- Se houver não-resposta ou recusas, planejar substituições: o mais correto é ter uma lista de reserva selecionada aleatoriamente no mesmo estrato (para manter a proporcionalidade).
Passo 6
Comparação entre AAE (estratificada proporcional) e AAS (aleatória simples), explicada de forma prática e aplicável na prova.
- O que é AAS (breve): selecionar
estudantes aleatoriamente da lista total de , sem estratificação; cada estudante tem a mesma probabilidade de ser escolhido. - Similaridade numérica esperada: a AAS tem, em média, as mesmas proporções por turno (espera-se cerca de
, , dos ), mas o número real selecionado em cada turno é aleatório e pode variar. - Vantagens da AAE neste contexto:
- Garantia de representação exata (ou controlada) de cada turno: obtém-se exatamente
, e , o que é útil se quer-se estimativas confiáveis por turno. - Geralmente menor variância nas estimativas (maior precisão) quando há diferenças entre turnos nas variáveis de interesse.
- Possibilidade de obter estimativas separadas por turno com boa precisão sem aumentar
.
- Garantia de representação exata (ou controlada) de cada turno: obtém-se exatamente
- Desvantagens da AAE:
- Requer conhecer a qual estrato cada unidade pertence e dispor de listas estratificadas.
- Pode ser um pouco mais trabalhosa logisticamente (três procedimentos de sorteio em vez de um).
- Vantagens da AAS:
- Simplicidade operacional (é só sortear da lista total).
- Menos chance de erro de execução quando não há bom quadro estratificado.
- Desvantagens da AAS no caso concreto:
- Pode resultar em pouca ou nenhuma representação de um turno (por azar), prejudicando estimativas específicas por turno.
- Se os turnos realmente diferem, a AAS tende a produzir estimativas com maior variância em relação à AAE proporcional.
- Conclusão prática para este caso: como existe uma divisão natural por turno, as listas por turno são (presumivelmente) disponíveis e os turnos provavelmente diferem em alguma(s) característica(s) importante(s), a AAE proporcional é preferível: garante representatividade por turno e normalmente dá estimativas mais precisas do que AAS, com custo logístico pequeno.
Resposta
a) AAE é apropriada porque a população divide-se naturalmente em três estratos (turnos); estratificar garante representação adequada de cada turno e costuma reduzir a variabilidade das estimativas quando os turnos diferem entre si.
b) Matutino: estudantes; Vespertino:
estudantes; Noturno:
estudantes.
c) Procedimento: obter listas estratificadas por turno; numerar cada lista; dentro de cada turno selecionar aleatoriamente ,
e
unidades respectivamente (por gerador de números aleatórios ou amostragem sistemática com
); documentar seleção e unir subamostras.
d) Comparação: AAE assegura representação por turno e tende a maior precisão (menor variância) quando turnos diferem; AAS é mais simples mas pode deixar um turno sub-representado por acaso, reduzindo precisão para estimativas por turno.
b) Matutino:
c) Procedimento: obter listas estratificadas por turno; numerar cada lista; dentro de cada turno selecionar aleatoriamente
d) Comparação: AAE assegura representação por turno e tende a maior precisão (menor variância) quando turnos diferem; AAS é mais simples mas pode deixar um turno sub-representado por acaso, reduzindo precisão para estimativas por turno.