Calcule a expressão da resposta em frequência do filtro de média móvel de ordem M: h[n]=1 /(M+1)(u[n]-u[n-(M+1)]). Determine a frequência do primeiro zero da resposta em frequência de magnitude em função de M e esboce as respostas em frequência de magnitude e de fase.
Passo 1
O enunciado dá o impulso do filtro média móvel de ordem M:
h[n]=\frac{1}{M+1}\bigl(u[n]-u[n-(M+1)]\bigr),
ou seja, h[n]=\frac{1}{M+1} para n=0,1,\dots,M e h[n]=0 caso contrário.
Pede-se:
calcular a expressão da resposta em frequência H(e^{j\omega});
determinar a frequência do primeiro zero da resposta em magnitude em função de M;
esboçar (descrever) as respostas em frequência de magnitude e de fase.
Passo 2
Vamos calcular H(e^{j\omega}) a partir da definição da DTFT para um sinal causal de suporte finito. A resposta em frequência é a soma das amostras ponderadas por expoentes complexos:
Aqui usamos explicitamente que h[n]=\frac{1}{M+1} apenas para n=0,\dots,M. Agora somamos essa série geométrica finita. A soma de N termos de uma série geométrica com razão r\neq1 é \sum_{n=0}^{N-1} r^n = \dfrac{1-r^{N}}{1-r}. Aplicando com r=e^{-j\omega} e N=M+1 obtemos
É útil transformar a forma acima numa forma real-separada (forma de Dirichlet) que deixa claramente a magnitude e a fase. Para isso fatoramos numerador e denominador usando identidades exponenciais:
Ou seja, o filtro é normalizado para ganho unitário em \omega=0.
Passo 5
Determinando os zeros da magnitude: zeros ocorrem quando o numerador \sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)=0 (exceto nos pontos onde também há singularidade do denominador, que precisam ser tratados pelo limite). Assim
O primeiro zero de frequência positiva (excluindo \omega=0 que corresponde a k=0 mas não é zero da resposta por causa do limite) corresponde a k=1. Logo
\omega_0=\frac{2\pi}{M+1}.
Em frequência normalizada em ciclos por amostra f=\omega/(2\pi) o primeiro zero fica em
f_0=\frac{1}{M+1}.
Passo 6
Explicação física e esboço da resposta em magnitude. A função \dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)} é a chamada função de Dirichlet: tem lóbulos principais e lóbulos secundários com zeros regularmente espaçados em \omega_k=\tfrac{2\pi k}{M+1}. A magnitude é simétrica em torno de \omega=0, com pico em \omega=0 de valor 1, primeiro zero em \omega=\pm\tfrac{2\pi}{M+1}, segundo zero em \pm\tfrac{4\pi}{M+1} etc. A largura do lóbulo principal (entre os primeiros zeros em -\omega_0 e +\omega_0) é
Ao aumentar M o lóbulo principal fica mais estreito (melhor resolução em frequência) e os lóbulos secundários ficam mais próximos e com amplitude relativa menor.
Esboço verbal do gráfico de magnitude:
Em \omega=0 altura 1.
Zeros em \omega=\pm\frac{2\pi}{M+1},\pm\frac{4\pi}{M+1},\dots.
Forma semelhante a uma função sinc com lóbulos decrescentes.
Passo 7
Explicação da fase e esboço da resposta de fase. Da expressão obtida
o fator e^{-j\omega M/2}\) representa uma fase linear \(-\omega\frac{M}{2}\), ou seja, um atraso em grupo constante de \(\frac{M}{2}\) amostras (filtro de fase linear). A razão de senos é real (pode ser positiva ou negativa), então a fase total é
\[\angle H(e^{j\omega}) = -\omega\frac{M}{2} + \begin{cases} 0, & \text{se }\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}>0,\\[6pt] \pi\\ (\text{ou } -\pi), & \text{se }\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}<0. \end{cases}
Isto significa que a fase é essencialmente uma linha reta com declive -M/2\], porém com saltos de \(\pi nas frequências onde a razão de senos muda de sinal (entre os zeros). No esboço, trace uma linha -\omega M/2 e acrescente saltos de \pi alternados nos pontos onde a razão de senos é negativa.]
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (opcional para a prova): se M=4 então M+1=5 e o primeiro zero é \omega_0=2\pi/5 (e f_0=1/5). A magnitude tem pico unitário em \omega=0 e zeros em \omega=\pm 2\pi/5,\pm4\pi/5,\pm6\pi/5,\dots. A fase principal é -2\omega (pois M/2=2) com saltos de \pi.
Resposta
H(e^{j\omega})=\dfrac{1}{M+1}\;e^{-j\omega\frac{M}{2}}\;\dfrac{\sin\!\left(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{\omega}{2}\right)}
Frequência do primeiro zero (rad/s amostrais): \displaystyle \omega_0=\frac{2\pi}{M+1}
Frequência do primeiro zero (ciclos por amostra): \displaystyle f_0=\frac{1}{M+1}
Magnitude: \displaystyle \bigl|H(e^{j\omega})\bigr|=\frac{1}{M+1}\left|\frac{\sin\!\left(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{\omega}{2}\right)}\right|
Fase: \displaystyle \angle H(e^{j\omega})=-\omega\frac{M}{2} (linear) com saltos de \pi onde a razão de senos é negativa.