Calcule a expressão da resposta em frequência do filtro de média móvel de ordem M: h[n]=1 /(M+1)(u[n]-u[n-(M+1)]). Determine a frequência do primeiro zero da resposta em frequência de magnitude em função de M e esboce as respostas em frequência de magnitude e de fase.

Passo 1

O enunciado dá o impulso do filtro média móvel de ordem M:
h[n]=\frac{1}{M+1}\bigl(u[n]-u[n-(M+1)]\bigr),
ou seja, h[n]=\frac{1}{M+1} para n=0,1,\dots,M e h[n]=0 caso contrário.
Pede-se:
  • calcular a expressão da resposta em frequência H(e^{j\omega});
  • determinar a frequência do primeiro zero da resposta em magnitude em função de M;
  • esboçar (descrever) as respostas em frequência de magnitude e de fase.

Passo 2

Vamos calcular H(e^{j\omega}) a partir da definição da DTFT para um sinal causal de suporte finito. A resposta em frequência é a soma das amostras ponderadas por expoentes complexos:
H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{M}\frac{1}{M+1} e^{-j\omega n}.
Aqui usamos explicitamente que h[n]=\frac{1}{M+1} apenas para n=0,\dots,M. Agora somamos essa série geométrica finita. A soma de N termos de uma série geométrica com razão r\neq1 é \sum_{n=0}^{N-1} r^n = \dfrac{1-r^{N}}{1-r}. Aplicando com r=e^{-j\omega} e N=M+1 obtemos
H(e^{j\omega})=\frac{1}{M+1}\cdot\frac{1-e^{-j\omega (M+1)}}{1-e^{-j\omega}}.

Passo 3

É útil transformar a forma acima numa forma real-separada (forma de Dirichlet) que deixa claramente a magnitude e a fase. Para isso fatoramos numerador e denominador usando identidades exponenciais:
1-e^{-j\omega (M+1)} = e^{-j\omega\frac{M+1}{2}}\bigl(e^{j\omega\frac{M+1}{2}}-e^{-j\omega\frac{M+1}{2}}\bigr) = e^{-j\omega\frac{M+1}{2}}\cdot 2j\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)
e
1-e^{-j\omega} = e^{-j\omega/2}\bigl(e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}\bigr) = e^{-j\omega/2}\cdot 2j\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr).
Dividindo as duas expressões e simplificando os fatores exponenciais chegamos à forma
H(e^{j\omega})=\frac{1}{M+1}\;e^{-j\omega\frac{M}{2}}\;\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}.
Essa é a expressão padrão: uma envoltória real (razão de senos) multiplicada por um termo de fase linear e^{-j\omega M/2}.

Passo 4

Agora extraímos a magnitude e comentamos sobre o valor em \omega=0. A magnitude é
\bigl|H(e^{j\omega})\bigr|=\frac{1}{M+1}\left|\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}\right|.
No ponto \omega=0 temos indeterminação 0/0, mas usando a aproximação \sin x\approx x quando x\to0 (ou L’Hôpital) obtemos
\lim_{\omega\to0}\bigl|H(e^{j\omega})\bigr| =\frac{1}{M+1}\cdot\frac{(M+1)\tfrac{\omega}{2}}{\tfrac{\omega}{2}}=1.
Ou seja, o filtro é normalizado para ganho unitário em \omega=0.

Passo 5

Determinando os zeros da magnitude: zeros ocorrem quando o numerador \sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)=0 (exceto nos pontos onde também há singularidade do denominador, que precisam ser tratados pelo limite). Assim
\tfrac{(M+1)\omega}{2}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Daí as frequências dos zeros são
\omega_k=\frac{2\pi k}{M+1},\qquad k\in\mathbb{Z}.
O primeiro zero de frequência positiva (excluindo \omega=0 que corresponde a k=0 mas não é zero da resposta por causa do limite) corresponde a k=1. Logo
\omega_0=\frac{2\pi}{M+1}.
Em frequência normalizada em ciclos por amostra f=\omega/(2\pi) o primeiro zero fica em
f_0=\frac{1}{M+1}.

Passo 6

Explicação física e esboço da resposta em magnitude. A função \dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)} é a chamada função de Dirichlet: tem lóbulos principais e lóbulos secundários com zeros regularmente espaçados em \omega_k=\tfrac{2\pi k}{M+1}. A magnitude é simétrica em torno de \omega=0, com pico em \omega=0 de valor 1, primeiro zero em \omega=\pm\tfrac{2\pi}{M+1}, segundo zero em \pm\tfrac{4\pi}{M+1} etc. A largura do lóbulo principal (entre os primeiros zeros em -\omega_0 e +\omega_0) é
\Delta\omega_{\text{lóbulo}}=2\omega_0=\frac{4\pi}{M+1}.ó
Ao aumentar M o lóbulo principal fica mais estreito (melhor resolução em frequência) e os lóbulos secundários ficam mais próximos e com amplitude relativa menor.
Esboço verbal do gráfico de magnitude:
  • Em \omega=0 altura 1.
  • Zeros em \omega=\pm\frac{2\pi}{M+1},\pm\frac{4\pi}{M+1},\dots.
  • Forma semelhante a uma função sinc com lóbulos decrescentes.

Passo 7

Explicação da fase e esboço da resposta de fase. Da expressão obtida
H(e^{j\omega})=\frac{1}{M+1}\;e^{-j\omega\frac{M}{2}}\;\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}
o fator e^{-j\omega M/2}\) representa uma fase linear \(-\omega\frac{M}{2}\), ou seja, um atraso em grupo constante de \(\frac{M}{2}\) amostras (filtro de fase linear). A razão de senos é real (pode ser positiva ou negativa), então a fase total é \[\angle H(e^{j\omega}) = -\omega\frac{M}{2} + \begin{cases} 0, & \text{se }\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}>0,\\[6pt] \pi\\ (\text{ou } -\pi), & \text{se }\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)}<0. \end{cases}
Isto significa que a fase é essencialmente uma linha reta com declive -M/2\], porém com saltos de \(\pi nas frequências onde a razão de senos muda de sinal (entre os zeros). No esboço, trace uma linha -\omega M/2 e acrescente saltos de \pi alternados nos pontos onde a razão de senos é negativa.]

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (opcional para a prova): se M=4 então M+1=5 e o primeiro zero é \omega_0=2\pi/5 (e f_0=1/5). A magnitude tem pico unitário em \omega=0 e zeros em \omega=\pm 2\pi/5,\pm4\pi/5,\pm6\pi/5,\dots. A fase principal é -2\omega (pois M/2=2) com saltos de \pi.

Resposta

H(e^{j\omega})=\dfrac{1}{M+1}\;e^{-j\omega\frac{M}{2}}\;\dfrac{\sin\!\left(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{\omega}{2}\right)}
Frequência do primeiro zero (rad/s amostrais): \displaystyle \omega_0=\frac{2\pi}{M+1}
Frequência do primeiro zero (ciclos por amostra): \displaystyle f_0=\frac{1}{M+1}
Magnitude: \displaystyle \bigl|H(e^{j\omega})\bigr|=\frac{1}{M+1}\left|\frac{\sin\!\left(\tfrac{(M+1)\omega}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{\omega}{2}\right)}\right|
Fase: \displaystyle \angle H(e^{j\omega})=-\omega\frac{M}{2} (linear) com saltos de \pi onde a razão de senos é negativa.

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