\int_{1}^{10} \int_{0}^{1 / y} y e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{10}\int_{0}^{1/y}y\,e^{x y}\,dx\,dy.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas por integração iterada. Nossa estratégia é primeiro avaliar a integral interna em x (tratando y como constante) e depois integrar o resultado em y.

Passo 2

Calculemos a integral interna
\int_{0}^{1/y}y\,e^{x y}\,dx.
Fazemos a substituição
u = x\,y,\quad du = y\,dx,\quad dx = \frac{du}{y}.
Quando x=0 temos u=0 e quando x=1/y temos u=1. Assim
\int_{0}^{1/y}y\,e^{x y}\,dx =\int_{u=0}^{1}e^{u}\,du =e-1.

Passo 3

Como a integral interna vale e-1, a integral externa em y é
\int_{1}^{10}(e-1)\,dy =(e-1)\int_{1}^{10}dy =(e-1)\,(10-1) =9\,(e-1).

Resposta

9(e-1)

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