\int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{2} \ln \left(2 x-1+\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}\right)+C\right) Passo 1O enunciado pede a primitiva \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} O conteúdo aqui envolve técnicas de integração de funções com raiz de uma expressão quadrática: primeiro vamos completar o quadrado no radicando e depois usar a forma padrão \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} = \ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C. Passo 2Completar o quadrado em 4x^{2}-4x-3: 4x^{2}-4x-3 =4\bigl(x^{2}-x\bigr)-3 =4\Bigl[(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14\Bigr]-3 =4(x-\tfrac12)^{2}-1-3 =4\bigl[(x-\tfrac12)^{2}-1\bigr]. Logo \sqrt{4x^{2}-4x-3} =2\sqrt{(x-\tfrac12)^{2}-1}. Passo 3Fazendo a substituição u = x-\tfrac12,\quad du=dx, a integral vira \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} =\int \frac{du}{2\sqrt{u^{2}-1}} =\tfrac12\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}. Pela forma padrão, \tfrac12\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\tfrac12\,\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C. Passo 4Voltando a x (lembre que u=x-\tfrac12) e usando \sqrt{u^{2}-1}=\frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-4x-3}, temos \tfrac12\,\ln\bigl|x-\tfrac12+\sqrt{(x-\tfrac12)^{2}-1}\bigr| =\tfrac12\,\ln\Bigl|\frac{2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}}{2}\Bigr|+C. Como \ln\frac{(\cdot)}{2}=\ln(\cdot)-\ln2 e \tfrac12\ln2 é constante, absorvemos em C. Assim obtemos \tfrac12\,\ln\bigl|2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr|+C. Resposta \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} =\frac{1}{2}\,\ln\bigl(2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr)+C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2}+8 x+5}-\frac{1}{2} \ln \left(2+2 x+\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}\right)+C\right) \int \frac{x d x}{\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2}+8 x+5}-\frac{1}{2} \ln \left(2+2 x+\sqrt{4 x^{2}+8 x+5}\right)+C\right) \int x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .. (resp. \left.\quad-\frac{1}{4} x\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}+\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}+2 \arcsin (x / 2)+C\right) \int x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .. (resp. \left.\quad-\frac{1}{4} x\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}+\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}+2 \arcsin (x / 2)+C\right)