1. \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{2} \ln \left(2 x-1+\sqrt{4 x^{2}-4 x-3}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}}
O conteúdo aqui envolve técnicas de integração de funções com raiz de uma expressão quadrática: primeiro vamos completar o quadrado no radicando e depois usar a forma padrão
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} = \ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C.

Passo 2

Completar o quadrado em 4x^{2}-4x-3:
4x^{2}-4x-3 =4\bigl(x^{2}-x\bigr)-3 =4\Bigl[(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14\Bigr]-3 =4(x-\tfrac12)^{2}-1-3 =4\bigl[(x-\tfrac12)^{2}-1\bigr].
Logo
\sqrt{4x^{2}-4x-3} =2\sqrt{(x-\tfrac12)^{2}-1}.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = x-\tfrac12,\quad du=dx,
a integral vira
\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} =\int \frac{du}{2\sqrt{u^{2}-1}} =\tfrac12\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}.
Pela forma padrão,
\tfrac12\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\tfrac12\,\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C.

Passo 4

Voltando a x (lembre que u=x-\tfrac12) e usando \sqrt{u^{2}-1}=\frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-4x-3}, temos
\tfrac12\,\ln\bigl|x-\tfrac12+\sqrt{(x-\tfrac12)^{2}-1}\bigr| =\tfrac12\,\ln\Bigl|\frac{2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}}{2}\Bigr|+C.
Como \ln\frac{(\cdot)}{2}=\ln(\cdot)-\ln2 e \tfrac12\ln2 é constante, absorvemos em C. Assim obtemos
\tfrac12\,\ln\bigl|2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr|+C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-4x-3}} =\frac{1}{2}\,\ln\bigl(2x-1+\sqrt{4x^{2}-4x-3}\bigr)+C.

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