\int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4) / 2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{y=0}^{4} \int_{x=-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2} 1 \;dx\,dy,
ou seja, a área da região D descrita por
0 \le y \le 4,\quad -\sqrt{4-y} \le x \le \frac{y-4}{2}.
Vamos primeiro realizar a integração interna em x e depois a externa em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2} 1 \;dx = \left. x \right|_{x=-\sqrt{4-y}}^{x=(y-4)/2} = \frac{y-4}{2} - \bigl(-\sqrt{4-y}\bigr) = \frac{y-4}{2} + \sqrt{4-y}.
Simplificando,
\frac{y-4}{2} + \sqrt{4-y} = \frac{y}{2} - 2 + (4-y)^{1/2}.

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 4:
\int_{0}^{4} \Bigl(\tfrac{y}{2} - 2 + (4-y)^{1/2}\Bigr)\,dy = \underbrace{\int_{0}^{4}\frac{y}{2}\,dy}_{I_1} - \underbrace{\int_{0}^{4}2\,dy}_{I_2} + \underbrace{\int_{0}^{4}(4-y)^{1/2}\,dy}_{I_3}.
Calculemos cada termo:
I_1:
\int_{0}^{4}\frac{y}{2}\,dy = \frac{1}{2}\,\frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{4} = \frac{1}{4}\cdot16 = 4.
I_2:
\int_{0}^{4}2\,dy = 2\cdot4 = 8.
I_3:
\int_{0}^{4}(4-y)^{1/2}\,dy = \Bigl[-\tfrac{2}{3}(4-y)^{3/2}\Bigr]_{0}^{4} = 0 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 4^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}.

Passo 4

Agora somamos os resultados:
I_1 - I_2 + I_3 = 4 - 8 + \frac{16}{3} = -4 + \frac{16}{3} = \frac{-12 + 16}{3} = \frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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