\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}} 2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - x^{2}}2x\,dy\,dx.
Aqui o domínio é dado por 0\le x\le2 e, para cada x, 0\le y\le4-x^{2}. Vamos usar Fubini e integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Na integral interna em y, o integrando 2x é constante em relação a y. Logo,
\int_{0}^{4 - x^{2}}2x\,dy =2x\int_{0}^{4 - x^{2}}dy =2x\,(4 - x^{2}).

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{0}^{2}2x\,(4 - x^{2})\,dx =\int_{0}^{2}(8x - 2x^{3})\,dx.
A antiderivada de 8x - 2x^{3} é
4x^{2}-\tfrac12x^{4},
então avaliando de 0 a 2 obtém-se
\bigl[4x^{2}-\tfrac12x^{4}\bigr]_{0}^{2} =4\cdot2^{2}-\tfrac12\cdot2^{4} =16-8 =8.

Resposta

8

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