\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} \sqrt{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral iterado
\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{x}\sqrt{x}\,dy\,dx,
que é um problema de integração dupla onde primeiro integramos em y e depois em x. Vamos usar a propriedade de que \sqrt{x} é constante em relação a y.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{y=x}\sqrt{x}\,dy
Como \sqrt{x} não depende de y, essa integral é
\sqrt{x}\,\bigl(x - x^{2}\bigr).

Passo 3

Substituir na integral externa, obtendo
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}\,(x - x^{2})\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{5/2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Aplicar a regra de potência para cada termo:
\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx =\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{5},
\int_{0}^{1}x^{5/2}\,dx =\left[\frac{x^{7/2}}{7/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{7}.

Passo 5

Fazer a diferença entre os resultados:
\frac{2}{5}-\frac{2}{7} =\frac{14-10}{35} =\frac{4}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{35}

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