Um integrador Miller incorpora um AmpOp ideal, um resistor
de
e um capacitor
de
. Um sinal senoidal é aplicado em sua entrada.
a) Em que frequência (em Hz) os sinais de entrada e de saída serão iguais em amplitude?
b) Nessa frequência, como se relacionam as fases das senóides de saída e de entrada?
c) Se a frequência for reduzida por um fator de 10 em relação à do item (a), a amplitude da tensão de saída muda com que fator e em que sentido (aumenta ou diminui)?
d) Qual a relação de fase entre a entrada e a saída na situação (c)
a) Em que frequência (em Hz) os sinais de entrada e de saída serão iguais em amplitude?
b) Nessa frequência, como se relacionam as fases das senóides de saída e de entrada?
c) Se a frequência for reduzida por um fator de 10 em relação à do item (a), a amplitude da tensão de saída muda com que fator e em que sentido (aumenta ou diminui)?
d) Qual a relação de fase entre a entrada e a saída na situação (c)
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um integrador tipo Miller que tem um amplificador operacional ideal, um resistor e um capacitor, com um sinal senoidal aplicado na entrada. Os dados fornecidos são:
-
. -
.
As perguntas são:
(a) Em que frequência (Hz) os sinais de entrada e saída têm igual amplitude?
(b) Nessa frequência, qual a relação de fase entre saída e entrada?
(c) Se a frequência for reduzida por um fator de em relação à do item (a), por qual fator a amplitude da saída muda e em que sentido (aumenta ou diminui)?
(d) Qual a relação de fase entre entrada e saída na situação do item (c)?
(a) Em que frequência (Hz) os sinais de entrada e saída têm igual amplitude?
(b) Nessa frequência, qual a relação de fase entre saída e entrada?
(c) Se a frequência for reduzida por um fator de
(d) Qual a relação de fase entre entrada e saída na situação do item (c)?
Passo 2
Vamos obter a resposta geral (a função de transferência) do integrador — isto é essencial para responder todas as perguntas. Primeiro, uma explicação intuitiva e depois a derivação matemática bem passo-a-passo.
Intuição rápida: num integrador inverting com op-amp ideal temos o terminal não-inversor aterrado (
) e o op-amp força o terminal inversor a ficar virtualmente em
volt (
) por realimentação. A corrente que entra pela resistência
é forçada a passar pelo capacitor
para o nó de saída; isso gera a relação de integração entre
e
.
Derivação passo a passo:
- Como o op-amp é ideal, a tensão no terminal inversor é igual à do terminal não-inversor (virtual short), portanto
. - A corrente que sai da fonte pelo resistor
vale . - Essa mesma corrente deve atravessar o capacitor para o nó de saída (não entrando nos terminais do op-amp), e a corrente no capacitor é
. - Igualando correntes:
- Rearranjando:
- Integrando no tempo:
(Para sinais AC a constante de integração é desprezível em regime estacionário.)
Agora, passando para o domínio de frequência (análise fasorial). Para
a relação entre fasores é
Portanto a função de transferência do circuito é
Passo 3
Vamos interpretar a função de transferência em módulo e fase — isto é o que vamos usar para responder (a–d).
- Módulo:
Isto significa que a amplitude da saída em relação à entrada é
. Observe que quanto maior
, menor a amplitude (característica de integrador).
- Fase:
Usando que
e que
, podemos reescrever
O fator
tem ângulo
. Portanto a fase constante do integrador ideal é
Isto quer dizer que, para qualquer frequência
, a tensão de saída adianta (lead) a tensão de entrada em
.
Passo 4
Item (a): encontrar a frequência na qual as amplitudes de entrada e saída são iguais. Isso significa achar
tal que
. Usando a fórmula do módulo:
Convertendo para frequência em hertz:
Agora substituímos os valores dados. Primeiro calcule
:
Logo
Passo 5
Item (b): fase nessa frequência. A fase não depende de
para o integrador ideal — vimos que
para qualquer
. Portanto, na frequência do item (a) a saída adianta a entrada de
.
Passo 6
Item (c): reduzir a frequência por um fator de
em relação à do item (a). Seja
a frequência do item (a) e
. O módulo em
é
Como em
tínhamos
, em
teremos
. Ou seja, a amplitude da tensão de saída aumenta por um fator
(fica 10 vezes maior que a entrada).
Passo 7
Item (d): fase na situação do item (c). Novamente, a fase do integrador ideal é independente de
e vale
. Portanto, ao reduzir a frequência por 10 a saída continua adiantando a entrada em
.
Resposta
(a)
(b) A saída adianta a entrada em .
(c) A amplitude da saída aumenta por um fator (fica 10 vezes maior).
(d) A saída continua adiantando a entrada em .
(b) A saída adianta a entrada em
(c) A amplitude da saída aumenta por um fator
(d) A saída continua adiantando a entrada em