3.3.1 Integrais de linha sobre funções e campos.
  1. Calcule a integral de linha onde C é a curva dada.
    \int_{C} x^{2}-y^{2} d s e C é a circunferência x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar sobre a circunferência de raio 2 centrada na origem. O conteúdo é integração de funções escalares sobre curvas, e vamos precisar parametrizar a curva C e usar a fórmula
\int_C f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 2 por
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
r'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t)
e o elemento de arco é
ds = \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt = \sqrt{(-2\sin t)^{2} + (2\cos t)^{2}}\;dt = \sqrt{4\sin^{2}t + 4\cos^{2}t}\;dt =2\,dt.

Passo 3

Na parametrização, a função fica
x^{2}-y^{2} =(2\cos t)^{2} - (2\sin t)^{2} =4(\cos^{2}t - \sin^{2}t) =4\cos2t.
Logo o integrando é
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,ds =4\cos2t\cdot 2\,dt =8\cos2t\,dt.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{C}(x^{2}-y^{2})\,ds =\int_{0}^{2\pi}8\cos2t\,dt =8\int_{0}^{2\pi}\cos2t\,dt.
Como \int_{0}^{2\pi}\cos2t\,dt=0, concluímos que a integral vale zero.

Resposta

0

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