integral duplaR y d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=9 e as retas y=x e y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaR y , dA, onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo x^2+y^2=9, pela reta y = x e pela reta y = 0. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e talvez coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Estamos no primeiro quadrante, então x >= 0 e y >= 0. O círculo x^2+y^2=9 tem raio 3. As retas que limitam a região são y = x e y = 0 (o eixo x). Então, R é a parte do círculo no primeiro quadrante entre y=0 e y=x.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular. Em coordenadas polares, temos:
  • x = rcostheta
  • y = rsintheta
  • dA = r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio r vai de 0 até 3 (raio do círculo). O ângulo theta vai de 0 até pi/4, porque a reta y = x corresponde a theta = pi/4 no primeiro quadrante.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaR y , dA = integral0^pi/4 integral0^3 (rsintheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^pi/4 integral0^3 r^2sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^3 r^2 , dr = [r^33]0^3 = 273 = 9
Então, a integral fica:
integral0^pi/4 9sintheta , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
9 integral0^pi/4 sintheta , dtheta = 9 [-costheta]0^pi/4 = 9 (-cospi4 + cos0)
Sabemos que cospi4 = raiz22 e cos0 = 1, então:
9 (-raiz22 + 1) = 9 (1 - raiz22) = 9 (2 - raiz22) = 9(2 - raiz2)2

Resposta

A integral dupla é igual a 9(2 - raiz2)2.

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