1. A integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} x^{-p} d x
converge a \qquad desde que \qquad .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} x^{-p}\,dx
O conteúdo é o teste-p para integrais do tipo \int_{1}^{\infty} x^{-p}dx. Precisamos calcular a antiderivada de x^{-p}, montar o limite quando o extremo superior tende a +\infty e verificar para quais valores de p esse limite é finito.

Passo 2

Para p\neq1, a antiderivada de x^{-p} é dada por
\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} + C.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{+\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{1}^{b} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \frac{b^{1-p}-1^{\,1-p}}{1-p}.

Passo 4

Reescrevendo o numerador e o denominador, obtemos
\int_{1}^{+\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \frac{b^{1-p}-1}{1-p} = \lim_{b\to+\infty} \frac{1 - b^{1-p}}{p-1}.
Para esse limite ser finito, devemos ter b^{1-p}\to0 quando b\to+\infty, ou seja, 1-p<0, isto é, p>1. Se p\le1, então b^{1-p} tende a uma constante positiva ou a +\infty e a integral diverge.

Passo 5

Quando p>1, temos b^{1-p}\to0 e
\int_{1}^{+\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1-0}{p-1} = \frac{1}{p-1}.

Resposta

A integral converge a \displaystyle \frac{1}{p-1} desde que p>1.

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