integral-infty^infty(2 e^-t2)^2 d t

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função exponencial elevada ao quadrado ao longo de todo o eixo real. Especificamente, queremos encontrar:
integral-infty^infty(2 e^-t2)^2 dt
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente o de integrais de funções exponenciais. Precisaremos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. A função (2 e^-t2)^2 = 2^2 cdot (e^-t2)^2 = 4 cdot e^-t pode ser expandida da seguinte forma:
integral-infty^infty 4 e^-t dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função 4 integral-infty^infty e^-t dt em relação a integral-infty^0 e^-t dt = integral-infty^0 e^x dx (onde x = -t) de e^0 - limx to -infty e^x = 1 - 0 = 1 a integral0^infty e^-t dt = [ -e^-t ]0^infty = 0 - (-1) = 1 . Podemos separar a constante 4 da integral:
1 + 1 = 2
A função é uma função exponencial que pode ser integrada facilmente. Vamos calcular a integral em duas partes: de a 0 e de 0 a .
  1. Integral de a 0:
A integral de é , então avaliando de a 0:
  1. Integral de 0 a :
Somando as duas partes:

Resposta

Multiplicando pela constante 4, o valor final da integral é:
4 times 2 = 8
Portanto, a integral é igual a 8.

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