integral(x^3+5)^1 / 3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por u = x^3 + 5 . Vamos definir:
du = 3x^2 , dx
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 3

Observamos que na integral original temos um x^2 , dx = du3 presente. Podemos expressar em termos de :
Isso simplifica nossa integral para termos de .

Passo 4

Substituindo integral(x^3+5)^1 / 3 x^2 , dx = integral u^1/3 cdot du3 = 13 integral u^1/3 , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C . Usamos a regra da potência para integração:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltamos à substituição original para expressar a resposta em termos de 13 cdot 34 u^4/3 + C = 14 (x^3 + 5)^4/3 + C :

Resposta

A integral 14 (x^3 + 5)^4/3 + C é igual a:

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