Passo 1
Ok, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 até
. Esse problema está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a integração. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então, podemos escrever:
Isso simplifica a nossa fração original para:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores de
que simplificam a equação.
-
Para
: -
Para
:
Então,
e
.
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Agora, a integral fica:
(Substituímos a variável de integração por
para evitar confusão com o limite superior
.)
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a
, podemos ignorar a constante de integração
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando:
Como
, sobra:
Resposta
A integral definida é: