integral0^z d zz^2+3 z+2

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 até . Esse problema está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a integração. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador z^2 + 3z + 2 = (z + 1)(z + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então, podemos escrever:
1(z + 1)(z + 2)
Isso simplifica a nossa fração original para:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(z + 1)(z + 2) = Az + 1 + Bz + 2 e 1 = A(z + 2) + B(z + 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) Rightarrow 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 e 1 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 , vamos escolher valores de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :
Então, e .

Passo 5

Com os valores de 1(z + 1)(z + 2) = 1z + 1 - 1z + 2 e integral0^z ( 1t + 1 - 1t + 2 ) dt encontrados, podemos reescrever a fração original:
Agora, a integral fica:
(Substituímos a variável de integração por para evitar confusão com o limite superior .)

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 1t + 1 dt = ln|t + 1|
integral 1t + 2 dt = ln|t + 2|
Então, a integral completa é:
ln|t + 1| - ln|t + 2| + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a , podemos ignorar a constante de integração .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
[ ln(z + 1) - ln(z + 2) ] - [ ln(0 + 1) - ln(0 + 2) ]
Simplificando:
ln(z + 1) - ln(z + 2) - ln(1) + ln(2)
Como ln(z + 1) - ln(z + 2) + ln(2) , sobra:

Resposta

A integral definida é:
ln(z + 1) - ln(z + 2) + ln(2)

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