integral2^3 6 x^2+5 x-3x^3+2 x^2-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 2x^2 - 3x = x(x^2 + 2x - 3) . Podemos tirar um fator comum de x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) :
x(x+3)(x-1)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, expressamos a fração 6x^2+5x-3x(x+3)(x-1) = Ax + Bx+3 + Cx-1 como uma soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 6x^2+5x-3 = A(x+3)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(x+3) para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito.

Passo 5

Expandindo cada termo:
A(x+3)(x-1) = A(x^2 + 2x - 3)
Bx(x-1) = B(x^2 - x)
Cx(x+3) = C(x^2 + 3x)
Juntando tudo:
6x^2+5x-3 = A(x^2 + 2x - 3) + B(x^2 - x) + C(x^2 + 3x)

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
6x^2+5x-3 = (A+B+C)x^2 + (2A - B + 3C)x - 3A
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação.

Passo 7

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
A + B + C = 6 2A - B + 3C = 5 -3A = -3
Resolvendo a terceira equação primeiro:
-3A = -3 implies A = 1

Passo 8

Substituímos 1 + B + C = 6 implies B + C = 5 nas duas primeiras equações:
2(1) - B + 3C = 5 implies 2 - B + 3C = 5 implies -B + 3C = 3

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema:
B + C = 5 -B + 3C = 3
Somando as duas equações:
B + C - B + 3C = 5 + 3 implies 4C = 8 implies C = 2
Substituindo B + 2 = 5 implies B = 3 na primeira equação:

Passo 10

Agora que temos 6x^2+5x-3x(x+3)(x-1) = 1x + 3x+3 + 2x-1 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 11

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x + 3x+3 + 2x-1 ) dx = integral 1x , dx + 3 integral 1x+3 , dx + 2 integral 1x-1 , dx
As integrais de são logaritmos naturais.

Passo 12

Calculando as integrais:
integral 1x , dx = ln|x|
3 integral 1x+3 , dx = 3 ln|x+3|
2 integral 1x-1 , dx = 2 ln|x-1|
Então, juntando tudo:
ln|x| + 3 ln|x+3| + 2 ln|x-1| + C
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a 3, vamos avaliar nos limites.

Passo 13

Aplicando os limites de integração:
[ ln x + 3 ln (x+3) + 2 ln (x-1) ]2^3 = ( ln 3 + 3 ln 6 + 2 ln 2 ) - ( ln 2 + 3 ln 5 + 2 ln 1 )
Sabemos que ln 3 + 3 ln 6 + 2 ln 2 - ln 2 - 3 ln 5 , então simplificando:

Passo 14

Simplificando os termos:
ln 3 + 3 ln 6 + ln 2 - 3 ln 5
Podemos combinar os logaritmos:
ln 3 + ln 6^3 + ln 2 - ln 5^3 = ln 3 + ln 216 + ln 2 - ln 125
= ln (3 times 216 times 2) - ln 125 = ln 1296 - ln 125
= ln ( 1296125 )

Passo 15

Calculando o valor numérico:
1296125 = 10.368
Então:
ln (10.368) approx 2.341

Resposta

A integral definida de 2 a 3 de é aproximadamente .

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