Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para isolar os termos com
. Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem.
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando a fração no lado direito:
Passo 4
Observamos que essa é uma equação diferencial linear na forma:
Aqui,
e
.
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante (
) que nos ajudará a integrar ambos os lados da equação.
Passo 5
O fator integrante é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: