Integre f(x, y) = e^(x + y) sobre a região R = {(x, y) | 1 <= x <= 2, x <= y <= 2 x}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para integrar a função sobre a região . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para e e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos que varia de 1 a 2. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Isso significa que para cada , começa no próprio e vai até o dobro de . Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é e o vertical é . A região fica entre as linhas e , de a .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla usando esses limites. Em integrais duplas, escolhemos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro com relação a e depois com relação a . Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Fixando , a integral de em relação a é:
Aqui, pode ser reescrito como , já que . Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é simplesmente . Então, avaliando nos limites de :

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, resta calcular a integral externa em relação a :
Vamos separar essa integral em duas partes:
A integral de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de e :
Primeira parte:
Segunda parte:
Subtraindo as duas partes:

Resposta

A integral dupla de sobre a região é:

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