Integre a função.
\int\left(\operatorname{sen}^{3} x \cos x+\operatorname{sen} x \cos ^{3} x\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(\sin^3 x\cos x+\sin x\cos^3 x\bigr)\,dx
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e substituição para integrar.

Passo 2

Observe que
\sin^3 x\cos x+\sin x\cos^3 x=\sin x\cos x\bigl(\sin^2 x+\cos^2 x\bigr)=\sin x\cos x
pois \sin^2 x+\cos^2 x=1.

Passo 3

Então a integral fica
\int\sin x\cos x\,dx.
Fazendo a substituição u=\sin x, temos du=\cos x\,dx, logo
\int\sin x\cos x\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C.

Passo 4

Voltando para x, obtemos
\frac{\sin^2 x}{2}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^2 x}{2}+C

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