A interação entre duas partículas nucleares pode ser representada com alguma precisão pelo potencial de Yukawa
, onde
e
são constantes.
Sabendo que
, determine a forma vetorial da força existente entre as duas partículas nucleares.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, então a questão diz que duas partículas interagem pelo potencial de Yukawa
onde
O conteúdo aqui é:
- entender como calcular o gradiente de um potencial que depende só da distância
, - usar coordenadas esféricas (ou a propriedade de “campo radial”).
Para resolver, vamos precisar:
- Saber que para um potencial
que depende apenas de , vale
- Derivarem relação a .
Passo 2
Primeiro, escrevo o potencial num formato mais fácil de derivar. Defino
então
Passo 3
Vou calcular a derivada
. Tenho
Use a regra do produto (na verdade do quociente e exponencial):
$$f®=r{-1}e{-r/r_{0}}\quad\Longrightarrow\quad
\frac{df}{dr} = \frac{d(r{-1})}{dr},e{-r/r_{0}} ;+; r{-1},\frac{d\bigl(e{-r/r_{0}}\bigr)}{dr},. $$
Agora:
- ,
- .
Agora:
-
-
Então
$$\frac{df}{dr} = -\frac{1}{r{2}},e{-r/r_{0}} ;+; \frac{1}{r},e^{-r/r_{0}}\Bigl(-\frac{1}{r_{0}}\Bigr)
= -e{-r/r_{0}}\Bigl(\frac{1}{r{2}} + \frac{1}{r,r_{0}}\Bigr),. $$
Passo 4
Agora volto em
:
Substituindo
:
Dá pra juntar num só termo:
$$\frac{dU}{dr}
= U_{0},e{-r/r_{0}};\frac{r_{0}+r}{r{2}},. $$
Passo 5
Como
e o campo é radial,
Logo
$$\vec F®
= -,U_{0},e{-r/r_{0}};\frac{r_{0}+r}{r{2}};\hat r,. $$
Resposta
A forma vetorial da força de Yukawa é
$$\boxed{\displaystyle
\vec F® = -,U_{0},\frac{r_{0}+r}{r{2}};e{-r/r_{0}};\hat r,.}$$