A interação entre duas partículas nucleares pode ser representada com alguma precisão pelo potencial de Yukawa U(r)=-U0 r0r e^-r / r0, onde U0 e r0 são constantes.
Sabendo que F=-nabla U, determine a forma vetorial da força existente entre as duas partículas nucleares.

Passo 1

Beleza, então a questão diz que duas partículas interagem pelo potencial de Yukawa
U(r)=-U0,r0r,e^-r/r0,,
onde U0 e r0 são constantes. Queremos achar a força vec F entre elas, sabendo que
vec F=-nabla U,
O conteúdo aqui é:
  1. entender como calcular o gradiente de um potencial que depende só da distância r,
  2. usar coordenadas esféricas (ou a propriedade de “campo radial”).
Para resolver, vamos precisar:
  • Saber que para um potencial U(r) que depende apenas de r, vale nabla U = dUdr,hat r,
    - Derivar U(r) em relação a r.

Passo 2

Primeiro, escrevo o potencial num formato mais fácil de derivar. Defino
A = U0,r0,
então
U(r) = -A,1r,e^-r/r0,

Passo 3

Vou calcular a derivada dU/dr. Tenho
U(r) = -A,f(r),,com f(r)=1r,e^-r/r0,
Use a regra do produto (na verdade do quociente e exponencial):
$$f®=r{-1}e{-r/r_{0}}\quad\Longrightarrow\quad
\frac{df}{dr} = \frac{d(r{-1})}{dr},e{-r/r_{0}} ;+; r{-1},\frac{d\bigl(e{-r/r_{0}}\bigr)}{dr},. $$
Agora:
- f(r)=r^-1e^-r/r0Longrightarrow dfdr = d(r^-1)dr,e^-r/r0 ;+; r^-1,dl(e^-r/r0r)dr, ,
- d(r^-1)/dr = -r^-2.
Então
$$\frac{df}{dr} = -\frac{1}{r{2}},e{-r/r_{0}} ;+; \frac{1}{r},e^{-r/r_{0}}\Bigl(-\frac{1}{r_{0}}\Bigr)
= -e{-r/r_{0}}\Bigl(\frac{1}{r{2}} + \frac{1}{r,r_{0}}\Bigr),. $$

Passo 4

Agora volto em U(r)=-A,f(r):
dUdr = -A,dfdr = -Al[-e^-r/r0l(1r^2 + 1r,r0r)r] = A,e^-r/r0l(1r^2 + 1r,r0r)!
Substituindo A=U0r0:
dUdr = U0r0,e^-r/r0l(1r^2 + 1r,r0r) = U0,e^-r/r0l(r0r^2 + 1rr)!
Dá pra juntar num só termo:
$$\frac{dU}{dr}
= U_{0},e{-r/r_{0}};\frac{r_{0}+r}{r{2}},. $$

Passo 5

Como vec F = -nabla U e o campo é radial,
nabla U = dUdr,hat r Longrightarrow vec F = -dUdr,hat r,
Logo
$$\vec F®
= -,U_{0},e{-r/r_{0}};\frac{r_{0}+r}{r{2}};\hat r,. $$

Resposta

A forma vetorial da força de Yukawa é
$$\boxed{\displaystyle
\vec F® = -,U_{0},\frac{r_{0}+r}{r{2}};e{-r/r_{0}};\hat r,.}$$

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