Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{rot}(\mathrm{f} \mathrm{X}) =\operatorname{grad}(\mathrm{f}) \wedge \mathrm{X}+\mathrm{f} \operatorname{rot}(\mathrm{X})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\operatorname{rot}(fX)=\operatorname{grad}(f)\wedge X+f\,\operatorname{rot}(X)
onde foi dada a notação de vetor coluna
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[4pt]Q\\[4pt]R\end{pmatrix}.
Aqui f é uma função escalar suficientemente suave (derivável) e A,B,C são funções componentes de X. Vou mostrar a identidade componente a componente. Não vamos assumir nada além da regra do produto para derivadas parciais.]

Passo 2

Relembrando definições e notação (tudo em notação de coluna):
  • O gradiente de f é
\operatorname{grad}(f)=\nabla f=\begin{pmatrix}f_x\\[4pt]f_y\\[4pt]f_z\end{pmatrix},
onde f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}, etc.
  • O rotacional (curl) de um campo vetorial X=\begin{pmatrix}A\B\C\end{pmatrix} é
\operatorname{rot}(X)=\nabla\times X= \begin{pmatrix} \partial_y C-\partial_z B \\[6pt] \partial_z A-\partial_x C \\[6pt] \partial_x B-\partial_y A \end{pmatrix},
ou, compondo com notação de derivadas, (\operatorname{rot}(X))_1=C_y-C_z com as derivadas indicadas.
  • O produto externo \operatorname{grad}(f)\wedge X aqui é o produto vetorial (cross product), cujo componente 1 é
(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_1=f_y C - f_z B,
e componentes 2 e 3 são definidas analogamente.]

Passo 3

Calcular \operatorname{rot}(fX)=\nabla\times(fX) componente a componente. Primeiro escrevo fX=\begin{pmatrix}fA\\[4pt]fB\\[4pt]fC\end{pmatrix}. A primeira componente do rotacional é
(\nabla\times(fX))_1=\partial_y(fC)-\partial_z(fB).
Aplicando a regra do produto para derivadas parciais:
\partial_y(fC)=f_y C + f\,C_y,\qquad \partial_z(fB)=f_z B + f\,B_z.
Substituindo:
(\nabla\times(fX))_1=(f_y C + f\,C_y) - (f_z B + f\,B_z).
Agrupando termos:
(\nabla\times(fX))_1=(f_y C - f_z B) + f\,(C_y - B_z).]

Passo 4

Interpretação dos dois grupos do passo anterior:
  • O primeiro grupo é exatamente a primeira componente de \operatorname{grad}(f)\wedge X, pois
(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_1=f_y C - f_z B.
  • O segundo grupo é f vezes a primeira componente de \operatorname{rot}(X), pois
(\operatorname{rot}(X))_1=C_y - B_z.
Logo
(\nabla\times(fX))_1=(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_1 + f\,(\operatorname{rot}(X))_1.

Passo 5

Repetir o mesmo raciocínio para as outras duas componentes.
Segunda componente:
(\nabla\times(fX))_2=\partial_z(fA)-\partial_x(fC) = (f_z A + f\,A_z) - (f_x C + f\,C_x) = (f_z A - f_x C) + f\,(A_z - C_x).
Aqui f_z A - f_x C é (\operatorname{grad}(f)\wedge X)_2 e A_z - C_x é (\operatorname{rot}(X))_2. Então
(\nabla\times(fX))_2=(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_2 + f\,(\operatorname{rot}(X))_2.
Terceira componente:
(\nabla\times(fX))_3=\partial_x(fB)-\partial_y(fA) = (f_x B + f\,B_x) - (f_y A + f\,A_y) = (f_x B - f_y A) + f\,(B_x - A_y).
Aqui f_x B - f_y A é (\operatorname{grad}(f)\wedge X)_3 e B_x - A_y é (\operatorname{rot}(X))_3. Logo
(\nabla\times(fX))_3=(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_3 + f\,(\operatorname{rot}(X))_3.

Passo 6

Como as três componentes satisfazem a igualdade componente a componente, concluímos a igualdade vetorial:
\operatorname{rot}(fX)=\operatorname{grad}(f)\wedge X+f\,\operatorname{rot}(X).
Comentário final rápido: isto é apenas a regra do produto para derivadas parciais aplicada componente a componente, organizada na forma vetorial usando gradiente, rotacional e produto vetorial. Dá para visualizar como uma versão vetorial da regra de Leibniz — muito útil na prova e em aplicações.

Resposta

\operatorname{rot}(fX)=\operatorname{grad}(f)\wedge X+f\,\operatorname{rot}(X)