X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{rot}(\mathrm{f} \mathrm{X}) =\operatorname{grad}(\mathrm{f}) \wedge \mathrm{X}+\mathrm{f} \operatorname{rot}(\mathrm{X})
Aqui f é uma função escalar suficientemente suave (derivável) e A,B,C são funções componentes de X. Vou mostrar a identidade componente a componente. Não vamos assumir nada além da regra do produto para derivadas parciais.]
Passo 2
Relembrando definições e notação (tudo em notação de coluna):
O rotacional (curl) de um campo vetorial X=\begin{pmatrix}A\B\C\end{pmatrix} é
\operatorname{rot}(X)=\nabla\times X= \begin{pmatrix} \partial_y C-\partial_z B \\[6pt] \partial_z A-\partial_x C \\[6pt] \partial_x B-\partial_y A \end{pmatrix},
ou, compondo com notação de derivadas, (\operatorname{rot}(X))_1=C_y-C_z com as derivadas indicadas.
O produto externo \operatorname{grad}(f)\wedge X aqui é o produto vetorial (cross product), cujo componente 1 é
(\operatorname{grad}(f)\wedge X)_1=f_y C - f_z B,
e componentes 2 e 3 são definidas analogamente.]
Passo 3
Calcular \operatorname{rot}(fX)=\nabla\times(fX) componente a componente. Primeiro escrevo fX=\begin{pmatrix}fA\\[4pt]fB\\[4pt]fC\end{pmatrix}. A primeira componente do rotacional é
Comentário final rápido: isto é apenas a regra do produto para derivadas parciais aplicada componente a componente, organizada na forma vetorial usando gradiente, rotacional e produto vetorial. Dá para visualizar como uma versão vetorial da regra de Leibniz — muito útil na prova e em aplicações.