Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral0^pi4[integral0^tg(x) f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a região de integração de uma integral dupla e calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e geometria para resolver isso. Precisaremos entender como as variáveis estão limitando nossa região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral original:
integral0^pi4[integral0^tan(x) f(x, y) , dy] dx
Aqui, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Vamos desenhar essa região no plano . O eixo vai de a , e para cada , vai até . A curva começa em e sobe até , já que .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x = arctan(y) em função de . Observando a curva , resolvemos para :
Então, para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, determinamos os novos limites de integração. Como integral0^1[integral0^arctan(y) f(x, y) , dx] dy varia de até (já que ), a integral invertida fica:

Passo 6

Para calcular a área da região de integração, podemos simplesmente integrar Área = integral0^pi4[integral0^tan(x) 1 , dy] dx sobre essa região. Usando a ordem original:
Área = integral0^pi4 tan(x) , dx Á
Integrando em :
Á

Passo 7

Sabemos que:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C
Aplicando os limites:
Área = -ln(cos(pi4)) + ln(cos(0)) = -ln(raiz22) + ln(1) Á
Como Área = -ln(raiz22) = ln(2raiz2) = ln(raiz2) = 12 ln(2) :
Á

Resposta

A integral invertida é:
integral0^1[integral0^arctan(y) f(x, y) , dx] dy
E a área da região de integração é .

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