Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a região de integração de uma integral dupla e calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e geometria para resolver isso. Precisaremos entender como as variáveis estão limitando nossa região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral original:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região no plano
. O eixo
vai de
a
, e para cada
,
vai até
. A curva
começa em
e sobe até
, já que
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Observando a curva
, resolvemos para
:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, determinamos os novos limites de integração. Como
varia de
até
(já que
), a integral invertida fica:
Passo 6
Para calcular a área da região de integração, podemos simplesmente integrar
sobre essa região. Usando a ordem original:
Integrando em
:
Passo 7
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Como
:
Resposta
A integral invertida é:
E a área da região de integração é
.