Inverter as equações abaixo, expressando sigma1, sigma2 e sigma3 em função de e1, e2 e e3.
e1=1E[sigma1-v(sigma2+sigma3)] e2=1E[sigma2-v(sigma1+sigma3)] e3=1E[sigma3-v(sigma1+sigma2)]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “invertir” um sistema de três equações lineares que relaciona as deformações com as tensões . Isso é conteúdo de elasticidade linear isotrópica: a gente tem as chamadas equações de deformação em função da tensão e quer o contrário, tensão em função de deformação. Para resolver isso vamos usar álgebra de sistemas lineares (somar equações, isolar variáveis e usar simetria).

Passo 2

Primeiro, multiplica cada equação por sigma1-v(sigma2+sigma3) = E,e1, sigma2-v(sigma1+sigma3) = E,e2, sigma3-v(sigma1+sigma2) = E,e3 pra ficar sem aquele (sigma1+sigma2+sigma3)l(1-2vr) =E,(e1+e2+e3) chato:
sigma1+sigma2+sigma3 =E1-2v,(e1+e2+e3)
Agora soma as três equações. Do lado esquerdo, aparece em cada linha, mas com coeficiente uma vez e com duas vezes (porque em cada equação as outras duas tensões entram com ). Logo:
Assim obtemos a soma das tensões:

Passo 3

Agora isola sigma1-vl(sigma2+sigma3r) =E,e1 a partir da primeira equação original (já multiplicada por sigma1-vl[E1-2v(e1+e2+e3)-sigma1r] =E,e1 ):
sigma1(1+v) =E,e1+v,E1-2v(e1+e2+e3)
Repare que sigma1 =E1+vl[e1+v1-2v(e1+e2+e3)r] . Substituindo a soma que já temos:
sigma1 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e1+v(e2+e3)r]
Isso vira
Passando o pro outro lado e fatorando :
Combinando termos dá a forma padrão

Passo 4

Por simetria exata do problema (trocando índices sigma2 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e2+v(e1+e3)r], sigma3 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e3+v(e1+e2)r] ou ) a gente encontra

Resposta

boxed sigma1&=E(1+v)(1-2v)l[(1-v)e1+v(e2+e3)r], sigma2&=E(1+v)(1-2v)l[(1-v)e2+v(e1+e3)r], sigma3&=E(1+v)(1-2v)l[(1-v)e3+v(e1+e2)r]

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