Inverter as equações abaixo, expressando e em função de e .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “invertir” um sistema de três equações lineares que relaciona as deformações com as tensões . Isso é conteúdo de elasticidade linear isotrópica: a gente tem as chamadas equações de deformação em função da tensão e quer o contrário, tensão em função de deformação. Para resolver isso vamos usar álgebra de sistemas lineares (somar equações, isolar variáveis e usar simetria).
Passo 2
Primeiro, multiplica cada equação por pra ficar sem aquele chato:
Agora soma as três equações. Do lado esquerdo, aparece em cada linha, mas com coeficiente uma vez e com duas vezes (porque em cada equação as outras duas tensões entram com ). Logo:
Assim obtemos a soma das tensões:
Passo 3
Agora isola sigma1-vl(sigma2+sigma3r) =E,e1 a partir da primeira equação original (já multiplicada por sigma1-vl[E1-2v(e1+e2+e3)-sigma1r] =E,e1 ):
sigma1(1+v) =E,e1+v,E1-2v(e1+e2+e3)
Repare que sigma1 =E1+vl[e1+v1-2v(e1+e2+e3)r] . Substituindo a soma que já temos:
sigma1 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e1+v(e2+e3)r]
Isso vira
Passando o pro outro lado e fatorando :
Combinando termos dá a forma padrão
Passo 4
Por simetria exata do problema (trocando índices sigma2 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e2+v(e1+e3)r], sigma3 =E(1+v)(1-2v) l[(1-v)e3+v(e1+e2)r] ou ) a gente encontra