Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu investigue a continuidade: isto é, determinar para quais pontos
a função é contínua ou descontínua e explicar por quê. Também pede para fazer o gráfico (usando Winplot).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A expressão algebraica de
está dada explicitamente. - Não há figura nem restrição adicional no enunciado.
- As perguntas são: onde
é contínua? onde é descontínua? e, depois, traçar o gráfico.
Passo 2
Encontrar o domínio de
— primeiro passo para estudar continuidade.
A função envolve
e
. Para que
esteja bem definida (em números reais) precisamos de
. Mas para todo
vale
, logo
Portanto
é sempre bem definida e estritamente positiva para todo
. Como o argumento do log é sempre positivo, o logaritmo natural também está bem definido para todo
. Conclusão:
- O domínio de
é todo o conjunto dos números reais, isto é, .
Passo 3
Simplificação útil da expressão (ajuda na análise):
para argumentos positivos vale a identidade . Como já vimos
para todo
, podemos escrever
para argumentos positivos vale a identidade
Isso facilita cálculos e a análise da continuidade e derivabilidade.
Explicando a propriedade usada:
e
quando
. Aqui
, portanto a transformação é válida para todo
.
Passo 4
Conceito e regra prática de continuidade que vou usar (explicada de forma simples).
- Uma função é contínua em um ponto
quando o limite de quando existe e é igual a . Na prática, para funções compostas, usamos uma regra útil: - Se
e são funções contínuas em pontos apropriados e a composição está bem definida, então é contínua nesses pontos.
Agora aplico isso à nossa função, escrevendo-a como composição de funções mais simples:
-
é um polinômio, logo contínuo para todo . -
é soma de contínuas, logo contínua em . -
é contínua para todo . - Também
é contínua para (constante multiplicativa não quebra continuidade).
Como para todo
temos
, a composição
está bem definida e é composição de funções contínuas nos pontos de interesse. Portanto
é contínua para todo
.
Resumo do raciocínio: domínio é
e todas as peças da composição são contínuas em seus domínios; logo
é contínua em todo
.
Passo 5
Uma confirmação extra (via derivabilidade): funções diferenciáveis são contínuas; assim, se eu mostrar que
é diferenciável para todo
, ganho outra certeza.
Derivada de
. Usando a regra da cadeia:
A expressão
está bem definida para todo
, portanto
é diferenciável em todo
e, em particular, contínua em todo
. (Isto é só uma verificação extra; a conclusão de continuidade já vinha da composição de funções contínuas.)
Passo 6
Propriedades do gráfico — pontos úteis para traçar em Winplot e interpretação qualitativa (aqui explico como o gráfico se comporta):
- Simetria:
. Então é uma função par (simétrica em relação ao eixo ). - Valor mínimo: como
, o menor valor de é (ocorre em ). Logo
Como a função cresce para
tanto à esquerda quanto à direita (ver item seguinte),
é mínimo global e
para todo
.
3. Monotonicidade: usando a derivada ,
3. Monotonicidade: usando a derivada
- para
temos ⇒ é crescente em ; - para
temos ⇒ é decrescente em .
Portanto o comportamento é decrescente até, mínimo em , depois crescente.
- Comportamento assintótico: quando
é grande,
Isto significa que
quando
, mas cresce lentamente (como o logaritmo).
5. Alguns pontos práticos para plotar:
5. Alguns pontos práticos para plotar:
-
. -
. -
. -
.
Esses pontos ajudam a desenhar o esboço: curvatura suave, mínimo em
, subidas simétricas para ambos os lados.
Passo 7
Como traçar o gráfico no Winplot (instruções passo a passo):
- Abra o Winplot.
- Escolha a entrada para plotar função de
(geralmente “y=” ou “f(x)=”). - Digite a expressão exatamente assim (Winplot aceita essas formas):
ln(sqrt(x^2+1))
ou, equivalente,0.5*ln(1+x^2)
- Ajuste a janela de visualização para ver bem a forma: por exemplo, use
de a e de a . - Trace a curva. Use o recurso “trace” para verificar pontos como
e confirmar valores (os pontos listados no passo anterior). - Para ver a simetria, observe que o ramo esquerdo corresponde ao direito refletido sobre o eixo
. - Se quiser, aumente o intervalo horizontal para observar o crescimento logarítmico lento (por ex.
de a ).
Passo 8
Resumo intuitivo e mensagem de incentivo: não há surpresas estranhas — a função está definida e é suave em toda a reta, tem um único mínimo em zero e cresce como logaritmo nas extremidades. Isso facilita muito na prova: se te pedirem pontos de descontinuidade, a resposta é “nenhum” e se pedirem gráfico, basta desenhar uma curva par com mínimo em
e crescimento lento para
.
Resposta
A função
é contínua para todo
. Não existem pontos de descontinuidade.