Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)
e pede que eu investigue a continuidade: isto é, determinar para quais pontos x a função é contínua ou descontínua e explicar por quê. Também pede para fazer o gráfico (usando Winplot).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A expressão algebraica de f está dada explicitamente.
  • Não há figura nem restrição adicional no enunciado.
  • As perguntas são: onde f é contínua? onde é descontínua? e, depois, traçar o gráfico.

Passo 2

Encontrar o domínio de f — primeiro passo para estudar continuidade.
A função envolve \sqrt{x^{2}+1} e \ln(\cdot). Para que \sqrt{x^{2}+1} esteja bem definida (em números reais) precisamos de x^{2}+1\ge 0. Mas para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0, logo
x^{2}+1 \ge 1>0.
Portanto \sqrt{x^{2}+1} é sempre bem definida e estritamente positiva para todo x\in\mathbb{R}. Como o argumento do log é sempre positivo, o logaritmo natural também está bem definido para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão:
  • O domínio de f é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}.

Passo 3

Simplificação útil da expressão (ajuda na análise):
para argumentos positivos vale a identidade \ln(\sqrt{u})=\tfrac{1}{2}\ln(u). Como já vimos \sqrt{x^{2}+1}>0 para todo x, podemos escrever
f(x)=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
Isso facilita cálculos e a análise da continuidade e derivabilidade.
Explicando a propriedade usada: \sqrt{u}=u^{1/2} e \ln(u^{a})=a\ln(u) quando u>0. Aqui u=x^{2}+1>0, portanto a transformação é válida para todo x.

Passo 4

Conceito e regra prática de continuidade que vou usar (explicada de forma simples).
  • Uma função é contínua em um ponto x_0 quando o limite de f(x) quando x\to x_0 existe e é igual a f(x_0). Na prática, para funções compostas, usamos uma regra útil:
  • Se g e h são funções contínuas em pontos apropriados e a composição g\circ h está bem definida, então g\circ h é contínua nesses pontos.
Agora aplico isso à nossa função, escrevendo-a como composição de funções mais simples:
  • x\mapsto x^{2} é um polinômio, logo contínuo para todo x\in\mathbb{R}.
  • x\mapsto x^{2}+1 é soma de contínuas, logo contínua em \mathbb{R}.
  • u\mapsto \ln(u) é contínua para todo u>0.
  • Também u\mapsto \tfrac{1}{2}\ln(u) é contínua para u>0 (constante multiplicativa não quebra continuidade).
Como para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}+1>0, a composição x\mapsto \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) está bem definida e é composição de funções contínuas nos pontos de interesse. Portanto f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
Resumo do raciocínio: domínio é \mathbb{R} e todas as peças da composição são contínuas em seus domínios; logo f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Uma confirmação extra (via derivabilidade): funções diferenciáveis são contínuas; assim, se eu mostrar que f é diferenciável para todo x, ganho outra certeza.
Derivada de f(x)=\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}). Usando a regra da cadeia:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(1+x^{2})\bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\cdot(2x) =\frac{x}{1+x^{2}}.
A expressão \dfrac{x}{1+x^{2}} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R} e, em particular, contínua em todo \mathbb{R}. (Isto é só uma verificação extra; a conclusão de continuidade já vinha da composição de funções contínuas.)

Passo 6

Propriedades do gráfico — pontos úteis para traçar em Winplot e interpretação qualitativa (aqui explico como o gráfico se comporta):
  1. Simetria: f(-x)=\tfrac{1}{2}\ln( (-x)^{2}+1)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)=f(x). Então f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
  2. Valor mínimo: como x^{2}\ge 0, o menor valor de x^{2}+1 é 1 (ocorre em x=0). Logo
f(0)=\ln(\sqrt{0^{2}+1})=\ln(1)=0.
Como a função cresce para +\infty tanto à esquerda quanto à direita (ver item seguinte), x=0 é mínimo global e f(x)\ge 0 para todo x.
3. Monotonicidade: usando a derivada f'(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}},
  • para x>0 temos f'(x)>0 f é crescente em (0,\infty);
  • para x<0 temos f'(x)<0 f é decrescente em (-\infty,0).
    Portanto o comportamento é decrescente até 0, mínimo em 0, depois crescente.
  1. Comportamento assintótico: quando |x| é grande,
f(x)=\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})\sim \tfrac{1}{2}\ln(x^{2})=\ln|x|.
Isto significa que f(x)\to +\infty quando x\to\pm\infty, mas cresce lentamente (como o logaritmo).
5. Alguns pontos práticos para plotar:
  • f(0)=0.
  • f(1)=\ln(\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0{,}3466.
  • f(2)=\ln(\sqrt{5})\approx 0{,}8047.
  • f(3)=\ln(\sqrt{10})\approx 1{,}1513.
Esses pontos ajudam a desenhar o esboço: curvatura suave, mínimo em (0,0), subidas simétricas para ambos os lados.

Passo 7

Como traçar o gráfico no Winplot (instruções passo a passo):
  1. Abra o Winplot.
  2. Escolha a entrada para plotar função de x (geralmente “y=” ou “f(x)=”).
  3. Digite a expressão exatamente assim (Winplot aceita essas formas):
    • ln(sqrt(x^2+1))
      ou, equivalente,
    • 0.5*ln(1+x^2)
  4. Ajuste a janela de visualização para ver bem a forma: por exemplo, use x de -5 a 5 e y de -0{,}5 a 3.
  5. Trace a curva. Use o recurso “trace” para verificar pontos como x=0,1,2 e confirmar valores (os pontos listados no passo anterior).
  6. Para ver a simetria, observe que o ramo esquerdo corresponde ao direito refletido sobre o eixo y.
  7. Se quiser, aumente o intervalo horizontal para observar o crescimento logarítmico lento (por ex. x de -100 a 100).

Passo 8

Resumo intuitivo e mensagem de incentivo: não há surpresas estranhas — a função está definida e é suave em toda a reta, tem um único mínimo em zero e cresce como logaritmo nas extremidades. Isso facilita muito na prova: se te pedirem pontos de descontinuidade, a resposta é “nenhum” e se pedirem gráfico, basta desenhar uma curva par com mínimo em (0,0) e crescimento lento para \pm\infty.

Resposta

A função f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right) é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Não existem pontos de descontinuidade.