1. (ITA/2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é
    a) 2^{8}-9
    b) 2^{8}-1
    c) 2^{8}-2^{6}
    d) 2^{14}-2^{8}
    e) 2^{8}

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto A com 14 elementos e um subconjunto B\subset A com 6 elementos. Precisamos contar todos os subconjuntos S de A tais que \lvert S\rvert\le6 e S\cap B=\emptyset. O conteúdo aqui é contagem de subconjuntos com restrição de disjunção e de tamanho.

Passo 2

Se S\cap B=\emptyset, então S só pode conter elementos de A\setminus B. Como \lvert A\setminus B\rvert=14-6=8, todo S válido é um subconjunto de um conjunto de 8 elementos. Entre todos os subconjuntos de A\setminus B, só aceitamos os de até 6 elementos. Então o número procurado é
\sum_{k=0}^{6}\binom{8}{k}.

Passo 3

Para calcular essa soma, note que
\sum_{k=0}^{6}\binom{8}{k} =\sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}-\binom{8}{7}-\binom{8}{8} =2^{8}-8-1 =2^{8}-9.

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que a resposta é a letra (a), pois 2^{8}-9 corresponde exatamente a essa opção.

Resposta

(a) 2^{8}-9

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