Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(f) f(x) = e^(2 x) - e^(x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, já que os pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Depois de encontrar esses pontos, vamos aplicar o teste da primeira derivada para determinar se eles são extremos relativos (máximos ou mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A derivada de em relação a é e a derivada de é . Portanto:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Podemos fatorar :
Sabemos que nunca é zero, então a única solução possível vem de:

Passo 5

Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Então, o único ponto crítico da função é:

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para : Escolha, por exemplo, . Substituindo na derivada:
  • Para : Escolha, por exemplo, . Substituindo na derivada:
Observamos que a derivada muda de positiva para positiva passando por , o que indica que a função tem um mínimo relativo nesse ponto.

Resposta

O ponto crítico da função é e, pelo teste da primeira derivada, esse ponto corresponde a um mínimo relativo.

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