Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, já que os pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Depois de encontrar esses pontos, vamos aplicar o teste da primeira derivada para determinar se eles são extremos relativos (máximos ou mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Podemos fatorar
:
Sabemos que
nunca é zero, então a única solução possível vem de:
Passo 5
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Então, o único ponto crítico da função é:
Passo 7
Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de
.
-
Para
: Escolha, por exemplo, . Substituindo na derivada: -
Para
: Escolha, por exemplo, . Substituindo na derivada:
Observamos que a derivada muda de positiva para positiva passando por
, o que indica que a função tem um mínimo relativo nesse ponto.
Resposta
O ponto crítico da função é
e, pelo teste da primeira derivada, esse ponto corresponde a um mínimo relativo.