Nos itens abaixo, determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
\left\{\frac{1}{\sin \left(n^{2}\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência \left\{\dfrac{1}{\sin\left(n^{2}\right)}\right\}_{n=1}^{\infty} é crescente, decrescente ou não monótona.
Informações dadas:
  • A sequência é a_n=\dfrac{1}{\sin\left(n^{2}\right)} para n=1,2,3,\dots.
  • Assume-se ângulos em radianos (portanto \sin é a função seno usual sobre os reais).

Passo 2

Definições (rápida e didática):
  • A sequência \{a_n\} é crescente (mais precisamente não decrescente) se vale \,a_{n+1}\ge a_n para todo n.
  • A sequência \{a_n\} é decrescente (não crescente) se vale \,a_{n+1}\le a_n para todo n.
    Estratégia prática: para provar que a sequência NÃO é crescente basta encontrar um n com a_{n+1}<a_n. Para provar que não é decrescente basta encontrar um n com a_{n+1}>a_n. Se conseguimos ambos, concluímos que a sequência não é monótona (nem crescente nem decrescente).

Passo 3

Calcular os primeiros termos (tudo em radianos) e suas aproximações:
a_1=\frac{1}{\sin(1)}\approx\frac{1}{0{,}8414709848}\approx1{,}1884,
a_2=\frac{1}{\sin(4)}\approx\frac{1}{-0{,}7568024953}\approx-1{,}3213,
a_3=\frac{1}{\sin(9)}\approx\frac{1}{0{,}4121184852}\approx2{,}4263.
(Os valores de \sin(1), \sin(4), \sin(9) foram usados como aproximações numéricas.)

Passo 4

Comparações que servem como contraexemplos:
  • a_2\approx-1{,}3213 < a_1\approx1{,}1884. Logo existe um n (aqui n=1) tal que a_{2}<a_{1}, o que impede que a sequência seja crescente (não-decr).
  • a_3\approx2{,}4263 > a_2\approx-1{,}3213. Logo existe um n (aqui n=2) tal que a_{3}>a_{2}, o que impede que a sequência seja decrescente (não-cres).
Portanto a mesma sequência apresenta uma descida seguida de uma subida, o que mostra que não é monótona. Observação adicional: \sin(n^{2})\neq0 para todo inteiro n porque \pi é irracional, então n^{2}=k\pi não ocorre para inteiros n,k; assim os termos estão bem definidos.

Resposta

Não monótona (nem crescente nem decrescente).