Nos itens abaixo, determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é
para . - Assume-se ângulos em radianos (portanto
é a função seno usual sobre os reais).
Passo 2
Definições (rápida e didática):
- A sequência
é crescente (mais precisamente não decrescente) se vale para todo . - A sequência
é decrescente (não crescente) se vale para todo .
Estratégia prática: para provar que a sequência NÃO é crescente basta encontrar umcom . Para provar que não é decrescente basta encontrar um com . Se conseguimos ambos, concluímos que a sequência não é monótona (nem crescente nem decrescente).
Passo 3
Calcular os primeiros termos (tudo em radianos) e suas aproximações:
(Os valores de
,
,
foram usados como aproximações numéricas.)
Passo 4
Comparações que servem como contraexemplos:
-
. Logo existe um (aqui ) tal que , o que impede que a sequência seja crescente (não-decr). -
. Logo existe um (aqui ) tal que , o que impede que a sequência seja decrescente (não-cres).
Portanto a mesma sequência apresenta uma descida seguida de uma subida, o que mostra que não é monótona. Observação adicional:
para todo inteiro
porque
é irracional, então
não ocorre para inteiros
; assim os termos estão bem definidos.
Resposta
Não monótona (nem crescente nem decrescente).