Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum lugar. Isso envolve o estudo de funções de uma variável complexa e, mais especificamente, análise de suas propriedades de diferenciabilidade. Para resolver, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são essenciais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes reais e imaginárias. Sabemos que
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Também,
.
Substituindo na função:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Aqui, identificamos as funções
e
:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais necessárias para as Equações de Cauchy-Riemann:
Passo 5
As Equações de Cauchy-Riemann exigem que:
Substituindo os valores que calculamos:
Uma das equações não é satisfeita, ou seja,
. Portanto, as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum lugar.