Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações imediatas (peguei tudo do enunciado):
- Limites de integração:
e . - A função a integrar é composta por três termos:
-
(raiz quadrada de ), -
(um sobre a raiz quadrada de ), -
(raiz cúbica de ).
-
- Para facilitar, vou reescrever cada termo como potência de
: -
, -
, -
.
-
Passo 2
Regra que vou usar (a famosa regra da potência para integrais): para todo número real
com
,
O que isso significa, de forma simples:
- Se tenho
, eu aumento o expoente em (virando ) e divido por esse novo expoente . - Exceção: quando
(porque aí dividiríamos por zero); não é o nosso caso aqui.
Exemplo rápido:.
Passo 3
Aplicando a regra termo a termo à integranda reescrita como somatório de potências:
Agora integro cada termo separadamente.
Para
: aqui
, então
e
Para
: aqui
, então
e
Mas na integranda esse termo aparece com sinal negativo, então contribui com
.
Para
: aqui
, então
e
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
Passo 4
Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
.
Primeiro calcule . Preciso dos valores
,
e
.
Primeiro calcule
Calculemos passo a passo:
-
. -
. -
, então .
Substituindo em
:
Calcule cada termo:
-
. -
. -
.
Somando os dois últimos termos:
. Então
Transformando
em terços:
. Assim
Passo 5
Agora calcule
. Como
elevado a qualquer potência é
, temos:
Colocando em denominador comum
:
Somando:
, então
Passo 6
Agora a integral definida é
Isso é
Coloco em denominador comum
:
então
O numerador
e o denominador
não têm fator comum além de
, então a fração já está irredutível.