Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{1}^{64}\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt[3]{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{64}\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt[3]{t}\right)\,dt.
Informações dadas e observações imediatas (peguei tudo do enunciado):
  • Limites de integração: 1 e 64.
  • A função a integrar é composta por três termos:
    • \sqrt{t} (raiz quadrada de t),
    • \dfrac{1}{\sqrt{t}} (um sobre a raiz quadrada de t),
    • \sqrt[3]{t} (raiz cúbica de t).
  • Para facilitar, vou reescrever cada termo como potência de t:
    • \sqrt{t} = t^{1/2},
    • \dfrac{1}{\sqrt{t}} = t^{-1/2},
    • \sqrt[3]{t} = t^{1/3}.

Passo 2

Regra que vou usar (a famosa regra da potência para integrais): para todo número real n com n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
O que isso significa, de forma simples:
  • Se tenho t^n, eu aumento o expoente em 1 (virando t^{n+1}) e divido por esse novo expoente (n+1).
  • Exceção: quando n=-1 (porque aí dividiríamos por zero); não é o nosso caso aqui.
    Exemplo rápido: \int t^2\,dt = \dfrac{t^3}{3}+C.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo à integranda reescrita como somatório de potências:
\int\left(t^{1/2}-t^{-1/2}+t^{1/3}\right)dt = \int t^{1/2}dt - \int t^{-1/2}dt + \int t^{1/3}dt.
Agora integro cada termo separadamente.
Para \int t^{1/2}dt: aqui n=\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{3}{2} e
\int t^{1/2}dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,t^{3/2}.
Para \int t^{-1/2}dt: aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e
\int t^{-1/2}dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\,t^{1/2}.
Mas na integranda esse termo aparece com sinal negativo, então contribui com -2\,t^{1/2}.
Para \int t^{1/3}dt: aqui n=\tfrac{1}{3}, então n+1=\tfrac{4}{3} e
\int t^{1/3}dt = \frac{t^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,t^{4/3}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
F(t)=\frac{2}{3}\,t^{3/2} - 2\,t^{1/2} + \frac{3}{4}\,t^{4/3}.

Passo 4

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(64)-F(1).
Primeiro calcule F(64). Preciso dos valores 64^{1/2}, 64^{3/2} e 64^{4/3}.
Calculemos passo a passo:
  • 64^{1/2} = \sqrt{64} = 8.
  • 64^{3/2} = (64^{1/2})^{3} = 8^{3} = 512.
  • 64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4, então 64^{4/3} = (64^{1/3})^{4} = 4^{4} = 256.
Substituindo em F:
F(64)=\frac{2}{3}\cdot 512 - 2\cdot 8 + \frac{3}{4}\cdot 256.
Calcule cada termo:
  • \dfrac{2}{3}\cdot 512 = \dfrac{1024}{3}.
  • -2\cdot 8 = -16.
  • \dfrac{3}{4}\cdot 256 = 3\cdot 64 = 192.
Somando os dois últimos termos: -16+192=176. Então
F(64)=\frac{1024}{3}+176.
Transformando 176 em terços: 176 = \dfrac{528}{3}. Assim
F(64)=\frac{1024}{3}+\frac{528}{3}=\frac{1552}{3}.

Passo 5

Agora calcule F(1). Como 1 elevado a qualquer potência é 1, temos:
F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1 - 2\cdot 1 + \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{2}{3} - 2 + \frac{3}{4}.
Colocando em denominador comum 12:
\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\qquad -2=-\frac{24}{12},\qquad \frac{3}{4}=\frac{9}{12}.
Somando: 8-24+9 = -7, então
F(1) = -\frac{7}{12}.

Passo 6

Agora a integral definida é
\int_{1}^{64}\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt[3]{t}\right)dt = F(64)-F(1) = \frac{1552}{3} - \left(-\frac{7}{12}\right).
Isso é
\frac{1552}{3} + \frac{7}{12}.
Coloco em denominador comum 12:
\frac{1552}{3} = \frac{1552\cdot 4}{12} = \frac{6208}{12},
então
\frac{6208}{12} + \frac{7}{12} = \frac{6215}{12}.
O numerador 6215 e o denominador 12 não têm fator comum além de 1, então a fração já está irredutível.

Resposta

\dfrac{6215}{12}