Nos itens a seguir encontre a derivada das funções:
f(x)=e^{x \operatorname{arccos} (x)} \operatorname{cossec}(3 \sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{x\operatorname{arccos}(x)}\;\csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr).
Aqui vamos usar as regras de derivação de produto, exponencial, função composta (regra da cadeia), derivada de \operatorname{arccos}(x) e derivada de \csc(u).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{x\operatorname{arccos}(x)}, \quad v(x)=\csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para u'(x) reconhecemos que u(x)=e^{g(x)} com
g(x)=x\operatorname{arccos}(x).
Pela regra da cadeia,
u'(x)=e^{g(x)}\;g'(x).

Passo 4

Calculamos g'(x) usando produto:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\operatorname{arccos}(x)\bigr) =\operatorname{arccos}(x)+x\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr).
Como
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr) =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
temos
g'(x)=\operatorname{arccos}(x)-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 5

Logo
u'(x) =e^{x\operatorname{arccos}(x)} \Bigl(\operatorname{arccos}(x)-\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr).

Passo 6

Agora v(x)=\csc(h(x)) com h(x)=3\sqrt{x}. Pela regra da cadeia e derivada de \csc,
v'(x) =-\csc(h(x))\,\cot(h(x))\,h'(x).
E
h'(x)=3\;\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =3\;\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{3}{2\sqrt{x}}.
Portanto
v'(x) =-\frac{3}{2\sqrt{x}}\, \csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr)\,\cot\bigl(3\sqrt{x}\bigr).

Passo 7

Substituindo em f'(x)=u'v+u\,v', obtemos
f'(x) =e^{x\operatorname{arccos}(x)}\Bigl(\operatorname{arccos}(x)-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr) -\;e^{x\operatorname{arccos}(x)}\,\frac{3}{2\sqrt{x}}\, \csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr)\,\cot\bigl(3\sqrt{x}\bigr).

Passo 8

Fatorando e^{x\operatorname{arccos}(x)}\csc(3\sqrt{x}), resulta
f'(x) =e^{x\operatorname{arccos}(x)}\csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr) \Biggl(\operatorname{arccos}(x)-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} -\frac{3}{2\sqrt{x}}\cot\bigl(3\sqrt{x}\bigr)\Biggr).

Resposta

f'(x) =e^{x\operatorname{arccos}(x)}\csc\bigl(3\sqrt{x}\bigr) \Bigl(\operatorname{arccos}(x)-\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} -\tfrac{3}{2\sqrt{x}}\cot\bigl(3\sqrt{x}\bigr)\Bigr).

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