Nos itens a seguir encontre a derivada das funções:
f(x)=\operatorname{arcsen}(3 x)-\frac{1}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arcsen}(3x)-\frac{1}{x^{2}}.
O conteúdo usado será a regra da cadeia para \operatorname{arcsen} e a derivada de potência para x^{-2}.

Passo 2

Para a primeira parcela usamos a fórmula
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}
com u=3x. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(3x)\bigr) =\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr)\Big|_{u=3x}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^{2}}}\cdot 3 =\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

Passo 3

Para a segunda parcela, observe que
-\frac{1}{x^{2}}=-x^{-2},
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\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr) =-(-2)x^{-3} =2x^{-3} =\frac{2}{x^{3}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}} +\frac{2}{x^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}+\frac{2}{x^{3}}.

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