Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen(x), f2(x)=sen(3 x) e f3(x)=sen^3(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as funções , e são linearmente dependentes no intervalo . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que relacionam essas funções.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que seno ao cubo pode ser expresso de outra maneira usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Essa fórmula nos permite escrever em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa identidade para facilitar a demonstração da dependência linear:
Ou seja,
3sen(x) - sen(3x) - 4sen^3(x) = 0

Passo 4

O que acabamos de fazer mostra que existe uma combinação linear das funções , e que resulta na função zero para todo . Isso significa que essas funções não são todas independentes; pelo menos uma delas pode ser escrita como combinação das outras.

Resposta

Portanto, as funções , e são linearmente dependentes no intervalo porque satisfazem a relação para todo .

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