Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen^2(12 x), f2(x)=1 e f3(x)=cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que as funções , e são linearmente dependentes no conjunto . Isso significa que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e entender o conceito de dependência linear.

Passo 2

Primeiro, lembramos que duas ou mais funções são linearmente dependentes se houverem constantes c1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) = 0 , não todas zero, tais que:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Para f1(x) = 1 - cos(1x)2 , podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso a :

Passo 3

Agora, reescrevemos a combinação linear:
c1(1 - cos(1x)2) + c2(1) + c3cos(x) = 0
Simplificando:
c12 - c12cos(1x) + c2 + c3cos(x) = 0

Passo 4

Para que essa igualdade valha para todo c12 + c2 = 0 -c12 = 0 c3 = 0 , os coeficientes das funções independentes devem ser iguais a zero. Observamos que temos termos constantes, e . Como e são funções distintas e independentes, a única maneira de satisfazer a igualdade é que seus coeficientes sejam zero individualmente:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação: implica .
  3. Já sabemos que .

Passo 6

A única solução para o sistema é . Isso significaria que as funções são linearmente independentes, mas isso contradiz a premissa inicial. Portanto, nossa abordagem mostra que, de fato, não existe uma combinação linear não trivial que satisfaça a condição, indicando que as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções , e são linearmente independentes no conjunto .

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