Um jardineiro dispõe de 60 metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
a) Calcule o lado de cada uma das formas.
b) Determine qual das formas o jardineiro escolherá.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo em valores que peguei do enunciado).
  • O jardineiro dispõe de 60 metros lineares de cerca. Esse é o perímetro disponível: P=60.
  • As formas possíveis são: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.
    O enunciado pede duas coisas:
    (a) Calcular o lado de cada uma das formas.
    (b) Determinar qual forma proporciona a maior área (ou seja, escolher a que resulta na maior área usando todo o perímetro).

Passo 2

Encontrar o lado de cada polígono a partir do perímetro. Regra: para um polígono regular com n lados, perímetro P e lado a vale \;P=n\cdot a\;. Isolando a obtemos \;a=\dfrac{P}{n}\;. Aplicando com P=60:
  • Triângulo equilátero: n=3.
    a_{\text{tri}}=\dfrac{60}{3}=20.
  • Quadrado: n=4.
    a_{\text{quad}}=\dfrac{60}{4}=15.
  • Hexágono regular: n=6.
    a_{\text{hex}}=\dfrac{60}{6}=10.
(Observação rápida e amigável: cada resposta acima é simples divisão — você pode calcular na prova sem calculadora.)

Passo 3

Agora precisamos das fórmulas de área de cada forma e uma breve explicação de onde vêm.
  • Área do triângulo equilátero de lado a: pode-se escrever área como \dfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. A altura de um triângulo equilátero de lado a é \dfrac{\sqrt{3}}{2}a (por Pitágoras num triângulo formado ao traçar a altura). Assim
    A_{\text{tri}}=\dfrac{1}{2}\;a\;\cdot\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
  • Área do quadrado de lado a: fórmula direta
    A_{\text{quad}}=a^{2}.
  • Área do hexágono regular de lado a: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado a. Cada um tem área \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}, então
    A_{\text{hex}}=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.

Passo 4

Calcular as áreas substituindo os lados encontrados no Passo 2. Vou apresentar primeiro as expressões exatas (com \sqrt{3}) e depois aproximações numéricas para intuição.
  • Triângulo equilátero com a_{\text{tri}}=20:
    A_{\text{tri}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,20^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 400=100\sqrt{3}.
    Aproximação: \sqrt{3}\approx 1{,}73205\Rightarrow A_{\text{tri}}\approx 100\cdot1{,}73205=173{,}205.
  • Quadrado com a_{\text{quad}}=15:
    A_{\text{quad}}=15^{2}=225.
  • Hexágono regular com a_{\text{hex}}=10:
    A_{\text{hex}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,10^{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 100=150\sqrt{3}.
    Aproximação: \sqrt{3}\approx 1{,}73205\Rightarrow A_{\text{hex}}\approx 150\cdot1{,}73205=259{,}808.

Passo 5

Comparar as áreas para decidir a melhor forma. Usando os valores exatos:
A_{\text{tri}}=100\sqrt{3}\approx173{,}2,\qquad A_{\text{quad}}=225,\qquad A_{\text{hex}}=150\sqrt{3}\approx259{,}8.
Claramente A_{\text{hex}}>A_{\text{quad}}>A_{\text{tri}}. Logo a forma que dá a maior área usando o mesmo perímetro P=60 é o hexágono regular.
(Comentário amigo: geometricamente, entre polígonos regulares com mesmo perímetro, quanto mais lados o polígono tem, mais ele se aproxima do círculo e maior sua área — por isso o hexágono supera triângulo e quadrado aqui.)

Resposta

(a) Lado do triângulo equilátero: 20 metros.
(a) Lado do quadrado: 15 metros.
(a) Lado do hexágono regular: 10 metros.
(b) O jardineiro escolherá o hexágono regular (maior área).

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