Um jardineiro dispõe de 60 metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
a) Calcule o lado de cada uma das formas.
b) Determine qual das formas o jardineiro escolherá.
a) Calcule o lado de cada uma das formas.
b) Determine qual das formas o jardineiro escolherá.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo em valores que peguei do enunciado).
- O jardineiro dispõe de
metros lineares de cerca. Esse é o perímetro disponível: . - As formas possíveis são: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o lado de cada uma das formas.
(b) Determinar qual forma proporciona a maior área (ou seja, escolher a que resulta na maior área usando todo o perímetro).
Passo 2
Encontrar o lado de cada polígono a partir do perímetro. Regra: para um polígono regular com
lados, perímetro
e lado
vale
. Isolando
obtemos
. Aplicando com
:
-
Triângulo equilátero:
. -
Quadrado:
. -
Hexágono regular:
.
(Observação rápida e amigável: cada resposta acima é simples divisão — você pode calcular na prova sem calculadora.)
Passo 3
Agora precisamos das fórmulas de área de cada forma e uma breve explicação de onde vêm.
-
Área do triângulo equilátero de lado
: pode-se escrever área como . A altura de um triângulo equilátero de lado é (por Pitágoras num triângulo formado ao traçar a altura). Assim -
Área do quadrado de lado
: fórmula direta -
Área do hexágono regular de lado
: um hexágono regular pode ser dividido em triângulos equiláteros de lado . Cada um tem área , então
Passo 4
Calcular as áreas substituindo os lados encontrados no Passo 2. Vou apresentar primeiro as expressões exatas (com
) e depois aproximações numéricas para intuição.
-
Triângulo equilátero com
: Aproximação:. -
Quadrado com
: -
Hexágono regular com
: Aproximação:.
Passo 5
Comparar as áreas para decidir a melhor forma. Usando os valores exatos:
Claramente
. Logo a forma que dá a maior área usando o mesmo perímetro
é o hexágono regular.
(Comentário amigo: geometricamente, entre polígonos regulares com mesmo perímetro, quanto mais lados o polígono tem, mais ele se aproxima do círculo e maior sua área — por isso o hexágono supera triângulo e quadrado aqui.)
Resposta
(a) Lado do triângulo equilátero:
metros.
(a) Lado do quadrado: metros.
(a) Lado do hexágono regular: metros.
(b) O jardineiro escolherá o hexágono regular (maior área).
(a) Lado do quadrado:
(a) Lado do hexágono regular:
(b) O jardineiro escolherá o hexágono regular (maior área).