Em um jogo de bilhar, a bola branca recebe uma velocidade inicial V e atinge o conjunto de quinze bolas em repouso. Então, todas as dezesseis bolas envolvem-se em numerosas colisões bola-bola e bola lateral da mesa. Algum tempo depois, observa-se que (por algum acidente) todas as 16 têm velocidades de mesmo módulo v. Supondo que todas as colisões sejam elásticas e ignorando o aspecto rotacional do movimento das bolas, calcule v em função de V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um jogo de bilhar onde a bola branca é lançada com uma velocidade inicial e atinge 15 bolas que estavam paradas. Após muitas colisões elásticas entre as bolas e também com as paredes da mesa, todas as 16 bolas acabam se movendo com a mesma velocidade . Nosso objetivo é encontrar em função de .
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de conservação de momento e conservação de energia cinética, que são fundamentais na física das colisões.

Passo 2

Vamos começar pela conservação do momento linear. O momento linear total antes das colisões deve ser igual ao momento linear total após as colisões, já que não há forças externas agindo no sistema (ignorando as paredes).
A fórmula para o momento linear ( p = m cdot v ) é:
pinicial = m cdot V
onde pfinal = 16 cdot m cdot v é a massa da bola e pinicial = pfinal Rightarrow m cdot V = 16 cdot m cdot v é a velocidade.
Antes das colisões:
  • A única bola em movimento é a branca, então o momento total é:
V = 16 cdot v Rightarrow v = V16
Após as colisões:
  • Todas as 16 bolas estão se movendo com velocidade , então o momento total é:
Aplicando a conservação do momento:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Em colisões elásticas, a energia cinética total também é conservada.
A fórmula para a energia cinética ( E = 12 m v^2 ) é:
Einicial = 12 m V^2
Antes das colisões:
  • A única bola em movimento é a branca, então a energia cinética total é:
Efinal = 16 cdot 12 m v^2 = 8 m v^2
Após as colisões:
  • Todas as 16 bolas estão se movendo com velocidade Einicial = Efinal Rightarrow 12 m V^2 = 8 m v^2 , então a energia cinética total é:
12 V^2 = 8 v^2
Aplicando a conservação da energia cinética:
V^2 = 16 v^2
Mais uma vez, cancelamos v = V4 :
Multiplicamos ambos os lados por 2:
E isolamos :

Resposta

A velocidade final de todas as 16 bolas é .

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