Em um jogo de bilhar, a bola branca recebe uma velocidade inicial
e atinge o conjunto de quinze bolas em repouso. Então, todas as dezesseis bolas envolvem-se em numerosas colisões bola-bola e bola lateral da mesa. Algum tempo depois, observa-se que (por algum acidente) todas as 16 têm velocidades de mesmo módulo
. Supondo que todas as colisões sejam elásticas e ignorando o aspecto rotacional do movimento das bolas, calcule
em função de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um jogo de bilhar onde a bola branca é lançada com uma velocidade inicial
e atinge 15 bolas que estavam paradas. Após muitas colisões elásticas entre as bolas e também com as paredes da mesa, todas as 16 bolas acabam se movendo com a mesma velocidade
. Nosso objetivo é encontrar
em função de
.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de conservação de momento e conservação de energia cinética, que são fundamentais na física das colisões.
Passo 2
Vamos começar pela conservação do momento linear. O momento linear total antes das colisões deve ser igual ao momento linear total após as colisões, já que não há forças externas agindo no sistema (ignorando as paredes).
A fórmula para o momento linear (
) é:
onde
é a massa da bola e
é a velocidade.
Antes das colisões:
- A única bola em movimento é a branca, então o momento total é:
Após as colisões:
- Todas as 16 bolas estão se movendo com velocidade
, então o momento total é:
Aplicando a conservação do momento:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Em colisões elásticas, a energia cinética total também é conservada.
A fórmula para a energia cinética (
) é:
Antes das colisões:
- A única bola em movimento é a branca, então a energia cinética total é:
Após as colisões:
- Todas as 16 bolas estão se movendo com velocidade
, então a energia cinética total é:
Aplicando a conservação da energia cinética:
Mais uma vez, cancelamos
:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
E isolamos
:
Resposta
A velocidade final de todas as 16 bolas é
.