Em um jogo de Hocky, um disco de massa igual a 30 g e diâmetro de 100 mm desliza sobre um colchão de ar (mua r=1,75 times 10^-5 N s / m^2) após ser atingido pelo taco. O colchão de ar sobre o disco possui uma espessura de 0,1 mm. Calcular o tempo requerido após o impacto para o disco perder 10 % da sua velocidade original. Resposta: t=2,3 s

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um disco de 30 g que está deslizando sobre um colchão de ar depois de ser atingido por um taco de Hocky. A missão aqui é descobrir quanto tempo o disco leva para perder 10% da sua velocidade inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força de atrito viscoso e movimento uniformemente desacelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estão no Sistema Internacional:
  • Massa do disco: 30 g = 0,03 kg
  • Diâmetro do disco: 100 mm, então o raio m
  • Espessura do colchão de ar: 0,1 mm = 0,0001 m
  • Coeficiente de atrito viscoso: N·s/m²

Passo 3

A força de atrito viscoso que age sobre o disco é dada pela fórmula:
F = muar times A times vh
onde:
  • é a área de contato do disco com o colchão de ar
  • é a velocidade do disco
  • é a espessura do colchão de ar

Passo 4

Vamos calcular a área A = pi r^2 = pi (0,05)^2 approx 0,00785 , m² do disco:
²

Passo 5

Sabemos que a força de atrito também está relacionada à massa ( F = m times a ) e à aceleração ( ) do disco pela segunda lei de Newton:
Como o atrito está desacelerando o disco, a aceleração será negativa.

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força:
m times dvdt = -muar times A times vh
Simplificando, temos:
dvdt = -muar times Am times h times v

Passo 7

Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade dvv = -muar times Am times h , dt muda com o tempo ln v = -muar times Am times h times t + C . Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a condição inicial ln v0 = C :
ln ( vv0 ) = -muar times Am times h times t
Então, a equação fica:

Passo 9

Queremos que o disco perca 10% da sua velocidade original, ou seja, ln(0,9) = -muar times Am times h times t :

Passo 10

Resolvendo para t = -m times hmuar times A times ln(0,9) :

Passo 11

Substituindo os valores conhecidos:
t = -0,03 times 0,00011,75 times 10^-5 times 0,00785 times ln(0,9)
Calculando:
t approx 2,3 , segundos

Resposta

O tempo requerido para o disco perder 10 % da sua velocidade original é segundos.

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