Justifique a aplicação da expressão
F_{R}=\int_{L} w(x) d x=\int_{A} d A=A
e não mais de
F_{R}=\Sigma F,
quando se trata de carregamento distribuído.

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que, no caso de um carregamento continuamente distribuído sobre um comprimento L, devemos usar
F_{R}=\int_{L} w(x)\,dx
e não simplesmente
F_{R}=\Sigma F
como faríamos para cargas concentradas. O conteúdo aqui é estática – cálculo da força resultante de uma carga distribuída – e vamos precisar do conceito de densidade de carga e do limite de somas de Riemann.

Passo 2

Uma carga distribuída é caracterizada por uma densidade w(x), que tem unidades de força por comprimento (por exemplo, N/m). Se considerarmos um trecho infinitesimal de comprimento dx em x, a força atuante nesse trecho é
dF = w(x)\,dx.
Perceba que não existe um número finito de forças concentradas, mas sim infinitos “pedaços” de força dF ao longo de todo o domínio L.

Passo 3

Para entender por que surge a integral, imagine aproximar a carga contínua por n forças concentradas F_i atuando em sub-intervalos \Delta x_i. Em cada sub-intervalo, aproximamos
F_i \approx w(x_i^*)\,\Delta x_i,
onde x_i^* é um ponto qualquer dentro de \Delta x_i. A soma dessas forças é
\sum_{i=1}^{n} F_i \approx \sum_{i=1}^{n} w(x_i^*)\,\Delta x_i.
Quando refinamos a partição ( n\to\infty e \max\Delta x_i\to0), essa soma de Riemann converge para a integral
F_R = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} w(x_i^*)\,\Delta x_i = \int_{0}^{L} w(x)\,dx.

Passo 4

Em contraste, a fórmula
F_{R}=\Sigma F
é válida somente quando há um número finito de forças concentradas F_j. No caso contínuo, há infinitos elementos dF e a operação de “somar infinitos” elementos infinitesimais se formaliza por meio da integral.

Passo 5

Geometricamente, o valor de
\int_{0}^{L} w(x)\,dx
corresponde à área sob o diagrama w(x) versus x. No caso de w(x)=w_0 constante, obtém-se
F_R = \int_{0}^{L} w_0\,dx = w_0\,L,
que é precisamente a área do retângulo de base L e altura w_0.

Resposta

A justificativa é que um carregamento distribuído gera infinitos “pedaços de força” dF=w(x)\,dx, de modo que sua resultante é a soma desses elementos em forma de integral
F_R=\int_{L}w(x)\,dx,
e não uma soma finita \Sigma F.

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