$
(l)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x{2}+x}}{\sqrt{x{2}-x}}$

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{x^2 - x}}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite no infinito de uma função composta por raízes de polinômios, onde usamos a técnica de fatorar x^2 dentro da raiz para simplificar.

Passo 2

Fatoramos x^2 dentro de cada raiz. Como x\to+\infty, temos x>0 e |x|=x. Portanto,
\sqrt{x^2+x} =\sqrt{x^2\Bigl(1+\frac1x\Bigr)} =x\,\sqrt{1+\frac1x},
\sqrt{x^2-x} =\sqrt{x^2\Bigl(1-\frac1x\Bigr)} =x\,\sqrt{1-\frac1x}.

Passo 3

Substituindo na razão, obtemos
\frac{\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{x^2 - x}} =\frac{x\,\sqrt{1+\tfrac1x}}{x\,\sqrt{1-\tfrac1x}} =\sqrt{\frac{1+\tfrac1x}{1-\tfrac1x}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando x\to+\infty. Como \tfrac1x\to0,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{1+\tfrac1x}{1-\tfrac1x}} =\sqrt{\frac{1+0}{1-0}} =\sqrt{1} =1.

Resposta

1

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