$
(i)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite à medida que x cresce sem boundes:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções com radicais e comportamento assintótico. Para resolver, vamos usar fatoração dentro da raiz e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando fatoração de x^2 dentro da raiz:
\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{1}{x^2}\Bigr)} = |x|\;\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.
Como estamos olhando x\to+\infty, temos |x|=x. Logo,
\sqrt{x^2+1} = x\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite, obtemos
\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{x\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}}.

Passo 4

À medida que x\to+\infty, o termo \tfrac{1}{x^2} tende a zero. Logo,
\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}\;\longrightarrow\;\sqrt{1+0}=1,
e consequentemente
\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}}\;\longrightarrow\;1.

Resposta

1

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