No laboratório, é possível observar o gerador de Van der Graff soltar faíscas quando o campo elétrico atinge 5 \cdot 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} em um ponto a 3 cm distante da cúpula metálica, aproximadamente esférica e com 6 cm de raio.
A carga elétrica acumulada na cúpula do gerador é de
A) 0,5 \cdot 10^{-8} \mathrm{C}
B) 2,0 \cdot 10^{-8} \mathrm{C}
C) 4,5 \cdot 10^{-8} \mathrm{C}
D) 7,5 \cdot 10^{-8} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado descreve uma cúpula metálica esférica de raio R=6\,\mathrm{cm} que libera faíscas quando o campo elétrico atinge 5\cdot10^{4}\,\mathrm{N/C} em um ponto situado 3\,\mathrm{cm} além da superfície. Como fora da esfera o campo é igual ao de uma carga pontual q no centro, vamos usar a lei de Coulomb para campo elétrico.

Passo 2

Calculamos a distância r do centro da esfera até o ponto onde o campo é medido:
r = R + 3\,\mathrm{cm} = 6\,\mathrm{cm} + 3\,\mathrm{cm} = 9\,\mathrm{cm} = 0{,}09\,\mathrm{m}.

Passo 3

Fora da esfera, o campo elétrico vale
E = \frac{k\,q}{r^2},
onde k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\cdot10^9\;\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.

Passo 4

Isolando q e substituindo os valores:
q = \frac{E\,r^2}{k} = \frac{5\cdot10^4\;(\mathrm{N/C})\times(0{,}09\,\mathrm{m})^2}{9\cdot10^9\;(\mathrm{N\cdot m^2/C^2})} = 4{,}5\cdot10^{-8}\;\mathrm{C}.

Resposta

A carga elétrica acumulada na cúpula é 4{,}5\cdot10^{-8}\,\mathrm{C}, ou seja, alternativa (C).

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