Uma lagarta de comprimento L se move com velocidade v sobre uma superfície horizontal em linha reta e num dado instante muda a direção de seu movimento em 90^circ. Determinar a partir desse momento o tempo que decorre até que a distância entre suas extremidades seja mínima e determine esta distância.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! A gente tem uma lagarta que está se mexendo numa linha reta com uma velocidade $ v $ e, num certo momento, ela decide virar 90 graus. A pergunta quer saber quanto tempo passa depois dessa mudança de direção até que a distância entre as duas pontas da lagarta seja mínima, além de qual é essa distância mínima. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para modelar os movimentos da lagarta antes e depois da virada.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. Antes da lagarta virar, ela está se movendo numa direção, digamos, para a direita. No instante em que ela vira 90 graus, vamos supor que é pra cima. A lagarta tem um comprimento $ L $, então temos que acompanhar a posição da frente e da traseira dela conforme ela se movimenta nessa nova direção.

Passo 3

Vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar. Vou colocar a posição da traseira da lagarta no ponto de mudança de direção como a origem, ou seja, $ (0,0) $. No instante da virada, a parte da frente da lagarta está em $ (L, 0) $.
Depois que a lagarta vira para cima, a traseira começa a se mover na direção positiva do eixo $ y $ com velocidade $ v $. Então, a posição da traseira no tempo $ t $ depois da virada será $ (0, vt) $.

Passo 4

Agora, vamos ver onde está a frente da lagarta. Lembre-se que a lagarta continua se movendo para cima com velocidade $ v $, então a posição da frente também vai mudar. No tempo $ t $, a frente estará na posição $ (0, vt + L) $, porque ela está $ L $ unidades acima da traseira.
Mas atenção! Na verdade, a frente também está se movendo para a direita antes da virada, então precisamos considerar isso no cálculo. Vamos ajustar isso corretamente.

Passo 5

Desculpa, vamos refazer para ficar mais claro. Antes da virada, a perda de coordenadas foi um pouco confusa. Vamos considerar que a lagarta estava se movendo ao longo do eixo $ x $. No instante da virada $ t = 0 $:
  • A traseira está na origem $ (0,0) $.
  • A frente está em $ (L, 0) $.
Depois da virada, a traseira começa a se mover para cima no eixo $ y $ com velocidade $ v $. Então, no tempo $ t $:
  • A posição da traseira será $ (0, vt) $.
  • A posição da frente, que estava em $ (L, 0) $ no instante da virada, agora começa a seguir a traseira, mantendo a distância $ L $. Portanto, a frente estará a $ L $ unidades atrás na direção original, ou seja, em $ ( - \frac{L vt}{\sqrt{(vt)^2 + L^2} }, ? ) $. Mas isso está complicado, vamos simplificar usando o conceito de movimento relativo.

Passo 6

Vamos simplificar usando vetores. Após a virada, ambos, a frente e a traseira, estão se movendo para cima com a velocidade $ v $. A diferença é que a frente também está se movendo para a esquerda para manter a distância $ L $.
A distância entre as duas extremidades pode ser expressa como a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é $ vt $ (movimento vertical) e o outro cateto é a diferença horizontal devido à mudança de direção.

Passo 7

Na verdade, vamos abordar de forma mais direta. A distância entre a frente e a traseira depende de como a lagarta está se movendo após a virada. A traseira está se movendo para cima com velocidade $ v $, então sua posição no tempo $ t $ será $ (0, vt) $. A frente também está se movendo para cima com a mesma velocidade, mas precisa manter a distância $ L $.
Então, a posição da frente será $ (0, vt + L) $.
A distância entre a frente e a traseira é simplesmente $ L $, o que sugere que precisa haver algo errado na abordagem.

Passo 8

Vamos reconsiderar. A descrição do problema implica que a lagarta muda de direção instantaneamente, mas suas duas extremidades continuam se movendo de acordo com a nova direção. Para encontrar a distância mínima entre as extremidades, vamos modelar as trajetórias das duas pontas após a virada.
Vamos supor que no instante da virada $ t = 0 $:
  • A parte traseira está em $ (0,0) $ e começa a se mover para cima.
  • A parte da frente, que estava em $ (L,0) $, agora começa a se mover para cima também, mas instantaneamente a partir da posição $ (L,0) $.
Então, no tempo $ t $:
  • Traseira: $ (0, vt) $
  • Frente: $ (L, vt) $
A distância entre elas é constantemente $ L $, o que não faz sentido com a pergunta. Portanto, devemos considerar que a frente também está mudando sua direção, mantendo o comprimento da lagarta.

Passo 9

Vamos modelar a posição da traseira e da frente após a mudança de direção mantendo o comprimento $ L $.
Após a virada, a traseira se move para cima com velocidade $ v $, então sua posição é $ (0, vt) $.
A frente está sendo puxada pela traseira para cima, mantendo a distância $ L $. Portanto, a frente tem que se mover de forma que a distância entre as duas permanece $ L $.
Isso significa que a frente está se movendo tanto para cima quanto para a esquerda para manter a distância constante.

Passo 10

Para resolver isso corretamente, precisamos considerar que a velocidade da frente tem componentes tanto na direção vertical quanto na horizontal para manter a distância $ L $.
Vamos chamar $ x(t) $ a posição horizontal da frente e $ y(t) = vt $ a posição vertical da frente.
A distância entre a traseira $ (0, vt) $ e a frente $ (x(t), vt) $ deve ser $ L $, então:
L
x(t)
Isso implica que $ x(t) = \pm L $, mas isso não varia com o tempo, o que sugere que a distância permanece constante, novamente contrariado pela pergunta.

Passo 11

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos tentar outra abordagem utilizando a geometria do movimento.
Quando a lagarta vira 90 graus, a traseira começa a se mover na nova direção, enquanto a frente continua na direção original.
Então, no tempo $ t $:
  • A traseira está em $ (0, vt) $.
  • A frente estava inicialmente em $ (L, 0) $ e continua se movendo na direção original (para a direita) com velocidade $ v $, então sua posição é $ (L + vt, 0) $.
Agora, a distância entre as duas partes da lagarta é a distância entre $ (0, vt) $ e $ (L + vt, 0) $.

Passo 12

Vamos calcular a distância $ D(t) $ entre as posições da traseira $ (0, vt) $ e da frente $ (L + vt, 0) $:
D(t)
(0, vt)
(L + vt, 0)
D(t) = raiz(L + vt - 0)^2 + (0 - vt)^2

Passo 13

Para achar o tempo $ t $ que minimiza $ D(t) $, podemos minimizar $ D(t)^2 $, já que a raiz quadrada é uma função crescente.
Então, vamos minimizar:
t
Isso é uma função quadrática em $ t $, que atinge seu valor mínimo no vértice da parábola.

Passo 14

A função quadrática é:
D(t)^2 = 2v^2 t^2 + 2Lv t + L^2
Para encontrar o valor de $ t $ que minimiza essa função, usamos a fórmula do vértice para uma parábola $ at^2 + bt + c $, que ocorre em $ t = -\frac{b}{2a} $.
Aqui, $ a = 2v^2 $ e $ b = 2Lv $, então:
t
Como o tempo não pode ser negativo, devemos ter cometido um erro nos sinais. Vamos rever.

Passo 15

Na verdade, o termo linear deveria ter sinal negativo, já que a frente está se afastando na direção original enquanto a traseira se move na nova direção.
Vamos corrigir a expressão de $ D(t)^2 $:
D(t)^2
Aqui, todos os termos são positivos, então a distância aumenta com o tempo, o que ainda não responde à pergunta. Parece que precisamos reconsiderar a modelagem do movimento.

Passo 16

Vamos redefinir a direção do movimento após a virada. Suponha que a lagarta inicialmente se move ao longo do eixo $ x $ e, ao virar 90 graus, passa a se mover ao longo do eixo $ y $.
No instante da virada $ t = 0 $:
  • Arco da traseira está em $ (0,0) $ e a frente em $ (L,0) $.
Após a virada:
  • Traseira: $ (0, vt) $
  • Frente: mantém a distância $ L $, então posição da frente será $ (x(t), vt) $.
Aplicando a condição de que a distância entre as duas é $ L $:
x
y
Isso sugere $ x(t) = \pm L $, constante, o que implica que $ D(t) = L $ sempre, mas isso não responde à questão.

Passo 17

Vamos tentar uma abordagem diferente. Talvez a lagarta está flexionando ao virar, de modo que a frente está se movendo na nova direção, enquanto a parte traseira começa a seguir na direção antiga.
Então, após a virada:
  • Parte da frente move-se na nova direção (por exemplo, eixo $ y $) com velocidade $ v $.
  • Parte da traseira continua na direção antiga (exemplo, eixo $ x $) com velocidade $ v $.
Assim, no tempo $ t $:
  • Traseira: $ (vt, 0) $
  • Frente: $ (0, vt) $
A distância entre elas:
y
Então, a distância cresce com o tempo, sempre aumentando, o que ainda não responde.

Passo 18

Parece que estou complicando demais. Vamos simplificar e considerar que, após a virada, a traseira se move na nova direção (por exemplo, eixo $ y $) e a frente continua na direção original (eixo $ x $).
Então:
  • Traseira: $ (0, vt) $
  • Frente: $ (L + vt, 0) $
A distância entre elas é:
y
x
Para encontrar o mínimo, derivamos $ D(t)^2 $ em relação a $ t $ e igualamos a zero.
(0, vt)
Resolvendo para $ t $:
(L + vt, 0)
D(t) = raiz(L + vt)^2 + (vt)^2
D(t) = raizL^2 + 2Lvt + 2(vt)^2
Como $ t $ não pode ser negativo, isso indica que a distância está sempre aumentando após a virada, o que contraria a pergunta.

Passo 19

Vamos concluir que talvez a interpretação inicial estava errada. A resposta consistente com os cálculos é que a distância entre as extremidades da lagarta sempre aumenta após a virada de 90 graus, portanto não há um tempo em que essa distância é mínima além do instante da virada.

Passo 20

Portanto, a distância mínima ocorre exatamente no momento da virada, com $ t = 0 $, e essa distância é $ L $.

Resposta

Depois de analisar o movimento da lagarta, concluímos que a distância entre as extremidades atinge seu mínimo no exato momento da mudança de direção. Assim, o tempo até a distância mínima é $ t = 0 $ segundos, e essa distância mínima é igual ao comprimento da lagarta, $ L $.

Exercícios relacionados