Uma lâmina na forma de uma região do primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=4 e pelas retas x+y=2 possui densidade sigma(x, y)=x y kg / m^2 em cada ponto ( x, y ) da placa. Calcule a massa da placa e as coordenadas do centro de massa da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina no primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2 + y^2 = 4 e pelas retas x + y = 2. A densidade da lâmina é sigma(x, y) = xy kg/m² em cada ponto (x, y). Precisamos calcular a massa da lâmina e as coordenadas do centro de massa.
Para resolver isso, vamos usar Cálculo Integral, especificamente integrais duplas, porque estamos lidando com uma área bidimensional. Vamos precisar configurar os limites de integração corretamente para a região delimitada e então integrar a função densidade para achar a massa e, posteriormente, as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos duas curvas:
  1. A circunferência x^2 + y^2 = 4, que é um círculo de raio 2 centrado na origem.
  2. A reta x + y = 2, que intercepta os eixos nos pontos (2,0) e (0,2).
Queremos a região no primeiro quadrante que está dentro do círculo e acima da reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir melhor os limites de integração.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, resolvemos o sistema:
x + y = 2 x^2 + y^2 = 4
A partir da primeira equação, podemos expressar y = 2 - x e substituir na segunda:
x^2 + (2 - x)^2 = 4 x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4 2x^2 - 4x + 4 = 4 2x^2 - 4x = 0 2x(x - 2) = 0
Então, x = 0 ou x = 2. Substituindo na primeira equação:
  • Se x = 0, então y = 2.
  • Se x = 2, então y = 0.
Os pontos de interseção são (0,2) e (2,0).

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para x e y. Observando a região:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para cada x, y varia da reta y = 2 - x até o círculo y = raiz4 - x^2.
Então, nosso domínio D está definido por:
0 <= x <= 2 2 - x <= y <= raiz4 - x^2

Passo 5

Vamos calcular a massa M da lâmina usando a integral dupla da densidade sobre a região D:
M = integral duplaD sigma(x, y) , dA = integral duplaD xy , dA
Com os limites definidos, a integral fica:
M = integral0^2 integral2 - x^raiz4 - x^2 xy , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral2 - x^raiz4 - x^2 xy , dy = x integral2 - x^raiz4 - x^2 y , dy = x [ y^22 ]2 - x^raiz4 - x^2
Calculando:
x ( (raiz4 - x^2)^22 - (2 - x)^22 ) = x ( 4 - x^22 - 4 - 4x + x^22 )
Simplificando:
x ( 4 - x^2 - 4 + 4x - x^22 ) = x ( 4x - 2x^22 ) = x (2x - x^2) = 2x^2 - x^3

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
M = integral0^2 (2x^2 - x^3) , dx = 2 integral0^2 x^2 , dx - integral0^2 x^3 , dx
Calculando cada parte:
2 [ x^33 ]0^2 = 2 ( 83 - 0 ) = 163
[ x^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
Então:
M = 163 - 4 = 163 - 123 = 43 , kg

Passo 8

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa (x, y).
As fórmulas são:
x = 1M integral duplaD x cdot sigma(x, y) , dA = 1M integral duplaD x^2 y , dA
y = 1M integral duplaD y cdot sigma(x, y) , dA = 1M integral duplaD x y^2 , dA
Vamos calcular x primeiro.

Passo 9

Para x:
x = 1M integral0^2 integral2 - x^raiz4 - x^2 x^2 y , dy , dx
Começamos pela integral interna:
integral2 - x^raiz4 - x^2 x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]2 - x^raiz4 - x^2
Calculando:
x^2 ( 4 - x^22 - (2 - x)^22 ) = x^2 ( 4 - x^2 - 4 + 4x - x^22 ) = x^2 ( 4x - 2x^22 ) = x^2 (2x - x^2) = 2x^3 - x^4
Agora, a integral externa:
integral0^2 (2x^3 - x^4) , dx = 2 [ x^44 ]0^2 - [ x^55 ]0^2 = 2 ( 164 ) - 325 = 8 - 325 = 405 - 325 = 85
Então:
x = 143 cdot 85 = 34 cdot 85 = 2420 = 65 = 1,2 , m

Passo 10

Agora, vamos calcular y:
y = 1M integral0^2 integral2 - x^raiz4 - x^2 x y^2 , dy , dx
Integral interna:
integral2 - x^raiz4 - x^2 x y^2 , dy = x [ y^33 ]2 - x^raiz4 - x^2
Calculando:
x ( (4 - x^2)^3/23 - (2 - x)^33 ) = x3 ( (4 - x^2)^3/2 - (2 - x)^3 )
Essa integral é complicada para resolver manualmente, mas podemos simplificar de outra forma. Note que pela simetria da densidade sigma(x, y) = xy , e considerando a região de integração, esperamos que x = y . No entanto, para fins de precisão, vamos assumir que o cálculo se repete de forma similar a x, resultando em:
y = x = 1,2 , m

Resposta

A massa da lâmina é 43 kg e as coordenadas do centro de massa são (1,2, m, 1,2, m).

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